二次函数在高中数学中的应用浅探

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1、二次函数在高中数学中的应用浅探笔者通过对近三年高考试题的统计分析，发现冇以下的命题规律.1•考查热点：二次函数的性质及应用，尤其是“三个二次”的综合应用，常与数形结合和等价转化思想联系在一起.2•考查形式：选择题、填空题、解答题均可能出现.3•考查角度：一是以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间，最值问题及与此相关的参数范围问题；二是一元二次方程根的分布问题；三是考查二次函数、二次方程及二次不等式的关系，其中以二次函数为核心，通过二次函数的图像贯穿始终.4.命题趋势：与其他初等函数复合在一起考

2、查函数性质•因三次函数的导数为二次函数，所以与导数结合在一起也是高考的命题方向.一、进一步深入理解函数概念学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，特别是以二次函数为例來更深刻地认识函数的概念•二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f：A—B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(aHO)与集合A屮的元素x对应，记为f(x)二ax2+bx+c(aHO)这里表示对应法则，乂表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

3、类型I：已知f(x)二2x2+x+2,求f(x+1)•类型II：设f(x+1)=x2-4x+l,求f(x).二、二次函数的图像、单调性及最值在高屮阶段学习二次函数的性质时，必须让学生加深对二次函数ypx2+bx+c(aHO)的图像、开口、对称轴以及定义域和值域的理解，在区间(-8,-上的单调性用定义进行严格的论证.类型IIL画出下列函数的图像，并求出函数的单调区间.(1)y=x2+2

4、x+l

5、-l；(2)y=x2-5x+6

6、.这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系•掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示，然后

7、画出其图像.类型IV：(定轴动区间上的最值问题)设f(x)二2x2-x-l在区间[m,m+1]上的最小值是g(m)•求y二g(m)的表达式.变式训练:已知函数f(x)二-x2+2ax+l-a在[0,1]时有最大值2,求a的值.(1)(动轴定区间上的最值问题)已知函数f(x)=x2+2ax+2,xE[-5,5],若f(x)$0恒成立，求实数a的取值范围.分析：函数的对称轴为x=-a,当-5<-a<5时，则f(-&)20；当M5时,则f(5)20；当-aW-5时，f(-5)20•该题主要考二次函数的单调性及数形结合的思想方法

8、.(2)(动轴动区间上的最值问题)已知函数f(x)二x2+2mxT,xe[m,m+1],若f(x)$0恒成立，求实数m的取值范围.分析：分类讨论，结合函数图像，利用函数单调性解决函数的最小值问题.(解答过程省略)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递减，求a的取值范围；若函数f(X)在X二a处取得极小值，求a的值，并说明在区间(1,4)内函数f(x)的单调性.分析：该题主要涉及二次函数的单调性及最值问题•同时也考查了导数中的基本性质及导数与二次函数的结合.三、与二次函数紧密相关的二次方程的根的分布情况类型V：设二次函数f

9、(x)=x2-2ax+4若方程f(x)-x=0.(1)若方程的两根均大于1,求实数a的取值范围.(2)若方程的两根，一根大于1,一根小于1,求实数a的取值范围.分析：该题考查二次方程根的分布情况，一种是两根在同一区域，另一种是两根在不同区域，运用数形结合来解决，要考虑到対称轴、判别式以及x=l的函数值的符号等.