微分中值定理在证明等式与不等式中的一些应用

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1、微分中值定理在证明等式与不等式中的一些应用摘要：不等式在初等数学中是最基本的也是最重要的内容之一,微分中值定理也是数学分析中最重要的定理之一.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法。从这些思想和方法中我们可以解决类似的很多问题，对提高证明题和解决问题的能力有很大帮助。关键词：微分中值定理；等式；不等式；证明；应用TheApplicationofMeanValueTheoreminProvingEqualitiesandInequalitiesAbstract:Inequalitiesisoneofthe

2、mostbasiccontentsinElementaryMathematics.MeanValueTheoremwhichiswidelyusedinsolvingmathematicalproblems,isoneofthemostimportanttheoreminMathematicalAnalysis,andisalsotheimportanttoolofresearchmathproblem.ThispapersummarizedsomecommonkindsofmethodsandskillsofapplicationofMeanValueTheoreminproofo

3、fInequalitiesbyexemplification,andhighlightedtheelementarythoughtandmethod,contributedimmenselytoimprovingthecapabilityofcertifying.Keywords:MeanValueTheorem;Inequalities;Proof;Application0引言高等数学中,等式、不等式的证明占有重要的一席之地,与一些计算及应用题相比，等式、不等式的证明对数学研究者来说一直是难点，主要是在证明的思路或者在函数的构造上有难度。在研究等式、不等式证明的过程中既发展了学者的

4、数学思维也培养了逻辑思维方面的能力。等式、不等式的证明方法很多，本文归纳出了几种利用微分中值定理来证明等式、不等式的常用方法和技巧。1预备知识1.1拉格朗日中值定理若函数满足:在闭区间连续;在开区间内可导.则在内至少存在一点,使。9拉格朗日中值定理也称中值公式或拉格朗日公式,它也经常用另一种形式表示，由于是在内的一个中值点,也可表示成的形式,于是定理的结论就可改为在中至少存在一个值,使或。　拉格朗日中值定理反映的是函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的一种关系，它都是以等式形式存在的，我们要学会观察拉格朗日中值公式,从而要灵活的理解拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用。1.2柯

5、西中值定理设函数和满足:在上都连续;在内都可导;和不同时为零;,则存在,使得：柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系，当一个函数取自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以柯西中值定理和拉格朗日中值定理之间有着必然的联系,其转化过程非常巧妙,在研究不等式时,要看清题意,分析题给的条件,确定符合条件所对应的中值定理。2微分中值定理在不等式证明中的应用例1证明:当时,分析：要证不等式即由柯西中值定理有即只要证明，亦即92.1拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用利用拉格朗日中值定理(若经过简单变形,不等式的一端可写要证明的命题是区间内至少有一点大于(或小于)零,可

6、以尝试使用拉格朗日中值定理。例2设,证明：　分析：观察命题结构，可以构造函数,又因为，这可以分区间应用拉格朗日中值定理。在应用拉格朗日中值定理到:=，，又由于.证明也就迎刃而解了。分析过程我们要学会思考、联想和知识迁移。证明：设,则对于在.由拉格朗日定理知:即由于又所以在应用引理1时，可以先构建辅助函数，并确定使用拉格朗日中值定理的区间，对在上使用拉格朗日中值定理，再根据与之间的关系，对拉格朗日公式加强不等式。对于不能直接应用定理证明的.在利用拉格朗日中值定理进行问题证明时,。主要是构建辅助函数，先结论出发，观察问题特征，分析问题可能用到的辅助函数，最后对问题作相应的变形，这是构造辅

7、助函数关键，有了辅助函数就可以直接应用中值定理得出结论。例3设,均在上连续，证明：9分析：在证明不等式过程中，首先要观察其结果的特征，再分析可能要用的辅助函数，然后相应的改变命题的形式，这是构造辅助函数关键.我们经常会将结果变形处理，如将上式变型等价为：，于是我们先考虑左边，可以令其为函数：，通过观察我们知道在上连续，在内可导，进而对其求导，结果为：恒成立，这样的一阶导数都大于0，再通过转换很快得到结果。积分不等式证明除用传统证法外，应用微分中值定理去研究