罗尔中值定理的内容及证明方法

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1、罗尔中值定理的内容及证明方法罗尔中值定理的内容及证明方法（一）定理的证明证明：因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，现在分两种情况讨论：1.若M=m，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数，结论显然成立。2.若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点x处取得，从而x是f(x)的极值点，由条件f(x)在开区间(a,b)内可导得，f(x)在x处可导，故由费马定理推知：f’(x)=0。 8（二）罗尔中值定理类问题的证明罗尔中值

2、定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。1.形如“在(a,b)内至少存在一点x，使f’(x)=k”的命题的证法。(1)当k=0时，一般这种情况下，我们只需验证f(x)满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。例1设f(x)在闭区间[0,1]上连续，开区间(0,1)内可导，f(0)=3òf(x)dx。231证明：$xÎ(0,1)，使f’(x)=0分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并

3、不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在(0,1)中找到一个区间(0,h)，在(0,h)中运用罗尔中值定理去证明。2é2ù证：因为f(0)=3òf(x)dx=3(1-)f(h)=f(h),hÎê,1ú32ë3û13显然f(x)在闭区间[0,h]上连续，在开区间(0,h)内可导根据罗尔定理，$xÎ(0,1)，使f’(x)=0(2)当k¹0时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：f’(x)-k=0的形式，构造辅助函数F(x)，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。

4、我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k法等等。例28设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点，使2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f’(x)x证：要证明2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f’(x)只需证2x[f(b)-f(a)]-(b2-a2)f’(x)http://www.wenku1.com=0故令g(x)=x2(f(b)-f(a))-(b2-a2)f(x)，则g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可

5、导，且g(a)=g(b)故，$xÎ(a,b)，使得g’(x)=2x(f(b)-f(a))-(b2-a2)f’(x)=0即：2x[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f’(x)2.应用罗尔定理来讨论方程的根：解决这类问题首先要构造一个函数，使该函数的导数是结论中的函数。例3证明方程4ax3+3bx2+2cx=(a+b+c)在(0,1)内至少有一实根。8分析：若令f(x)=4ax3+3bx2+2cx-(a+b+c)，则f(0)，f(1)的符号不易判别，所以不适合运用介值定理，因此我们采用罗尔中值定理来证明。证：令f

6、(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x，则f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0。由罗尔中值定理可知：$xÎ(0,1)，使f’(x)=0。即4ax3+3bx2+2cx-(a+b+c)=0所以方程4ax3+3bx2+2cx=(a+b+c)在(0,1)内至少有一实根例48若f(x)可导，试证明在f(x)的两个零点之间，一定有f(x)+f’(x)=0的零点。分析：要证f(x)+f’(x)=0存在零点，我们需要构造一个辅助函数F(x)，使得F’(x)=f(x)+f’(x)，将

7、问题转换为F’(x)的零点存在问题。证：令F(x)=exf(x),设x1，x2为f(x)的两个零点，即f(x1)=0，f(x2)=0。则有F(x1)=F(x2)=0。假设x1

8、也是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。下面我们对广义的罗尔定理进行讨论。广义的罗尔定理有多种形式，它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后得到广义的罗尔中值表达式。广义的罗尔定理有多种形式。形式1：若函数f(x)在(a,+¥)内可导，且lim+f(x)=limf(x)，则在(a,+¥)内x®ax®+¥至少存在一点c，使f’(c)=0。证：若f(x)ºA，则结论显然成立。若