《现代控制理论基础》第八章(6)

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1、8.6线性离散系统的分析8.6.1离散时间系统的状态空间表达式连续时间系统的状态空间方法，完全适用于离散时间系统。离散系统的实现从差分方程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的问题。1一.单输入单输出情形单输入单输出线性离散系统差分方程ykn()aykn(1)ayk(1)ayk()n110bukn()bukn(1)buk(1)buk()nn110系统的脉冲传递函数为nn1bzbzbzbnn110Wz()nn1zazazan1102单输入单输

2、出离散系统的状态空间表达式x(k1)Gx()khuk()yk()cx()kduk()在假设两个相邻采样时刻uk()不变的条件下，上式可描述为下图：d+x()khTcuk()yk()+G单位延迟器3一种较为简单的实现：xk(1)xk()huk()12n1xk(1)xk()huk()23n2x(k1)xk()huk()nn11xk(1)axk()axk()axk()huk()n0112n1n0yk()xk()huk()1n40100hn

3、10010hn2xx(k1)()kuk()0001h1aaaah012n10yk()1000x()khukn()cdGh5式中h的计算公式：ihbnnhbahn1n1n1nhbahahn2n2n2nn1n1hbahahah000n1n1n116二.多输入多输出情形多输入多输出离散系统的状态空间表达式x(k1)Gx()kHu()ky()kCx()k

4、Du()k具体实现的方法本课程不作要求！78.6.2离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解法递推法Z变换法（迭代法）适用于定常系统适用于定常系统和时变系统8一.递推法设线性定常离散时间系统的状态方程为x(k1)Gx()kHuk()（1）xx()k(0)k0则它的解为：k1kkj1x()kGx(0)GHuj()（2）或j0k1kjx()kGx(0)GHuk(j1)（3）j09即kk12kx()kGx(0)GHu(0)GHu(1)k3GHu(2)

5、GHuk(2)Huk(1)[证明]根据离散状态方程式（1）可得：令k0有x(1)Gx(0)Hu(0)令k1有x(2)Gx(1)Hu(1)GGx(0)Huu(0)H(1)2Gx(0)GHuu(0)H(1)10令k2有x(3)Gx(2)Hu(2)2GGx(0)GHu(0)Hu(1)Hu(2)32Gx(0)GHu(0)GHu(1)Hu(2)类似地有x()kGx(k1)Huk(1)kk12kGx(0)GHuu(0)GH(1)k

6、3GHu(2)GHuk(2)Huk(1)[证毕]11以上各式用矩阵形式表示：x(1)GH000u(0)2x(2)GGHH00u(1)32x(3)Gx(0)GHGHH0u(2)kk1k2k3x()kGGHGHGHHuk(1)12将上述结论进行推广，初始时刻改为kh，相应的初始状态为x()h，则其解为：k1khkj1x()kGx()hGHu

7、j()（4）jh或k1khjx()kGx()hGHuk(j1)（5）jh由初始状态由输入信号引起的响应引起的响应13离散状态转移矩阵的定义kkhΦG()k或ΦG()kh离散状态转移矩阵的性质性质1Φ(kk1)GΦ()性质2ΦI(0)性质3Φ(kh)Φ(kh)(Φhh)11其中khh1141性质4ΦΦ()kk()用状态转移矩阵表示离散系统的解k1式（2）x()kΦ()(0)kxΦ(kj1)Huj()j0k1式（3）x()kΦ()(0)kx

8、Φ()jHuk(j1)j0k1式（4）x()kΦ(kh)()xhΦ(kj1)Huj()jhk1式（5）x()kΦ(kh)()xhΦ()jHuk(j1)jh15[例21]已知离散时间系统的状态方程x(k1)Gx()kHuk()011GH0.16111试求当初始状态x(0)和控制作用uk()1时，1此系统的Φ()k和x()k。16[解]根据定义k