2016年沪科版数学八年级下册《17.1一元二次方程》教学设计教案

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1、17．1　一元二次方程学习目标1．了解一元二次方程及相关概念；(重点)2．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)　　　　　　教学过程一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2

2、＝2；⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2.解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是．答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】根据一元二次方程的概念求字母的值a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x＝2x2－ax－3；(2)(a－1)x

3、a

4、＋1＋2x－7＝0.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，当a－2≠0，即a≠2时，原

5、方程是一元二次方程；(2)由

6、a

7、＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)将方程整理得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，∵a－2≠0，∴a≠2.当a≠2时，原方程为一元二次方程；(2)∵

8、a

9、＋1＝2，∴a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．∴当a＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型三】一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形

10、式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．(1)x(x－2)＝4x2－3x；(2)－＝；(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并

11、同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm，宽为15cm的长方形纸片，需要在

12、四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理得x2－17x＋51＝0(0

13、练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点三：一元二次方程的根已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个解是x＝1，求m的值．解析：将方程的解代入原方程，可使方程的左右两边相等．本题将x＝1代入原方程，可得关于m的一元一次方程，解得m的值即可．解：根据方程的解的定义，将x＝1代入原方程，得12＋m×1＋3＝0，解得m＝－4，即m的值为－4.方法总结：方程的根(解)一定满足原方程，将根(解)的值代入原方程，即可得到关于未知系数的方程，通过解方程可以求出未知系数的值