2024年新高考第二次模拟考试 数学（考试版）.docx

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2024年高考高三第二次模拟考试数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（    ）A．2B．3C．4D．92．已知符号函数，则“”是“”的（  ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ）A．B．C．D．4．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ）A．B．C．D．5．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（    ）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司 6．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（    ）A．48种B．32种C．24种D．16种7．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（    ）A．B．C．D．8．已知定义在上的偶函数满足：当时，，且，则方程实根个数为（    ）A．6B．8C．9D．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知是的共轭复数，则（    ）A．若，则B．若为纯虚数，则C．若，则D．若，则集合所构成区域的面积为10．关于下列命题中，说法正确的是（   ）A．若事件A、B相互独立，则B．数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C．已知，，则D．已知，若，则11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则(    )  学科网（北京）股份有限公司 A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面B．存在点Q，使平面MBNC．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，，则的子集个数为.13．函数，如果为奇函数，则的取值范围为14．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，若，则的离心率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.(1)求证：；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.16．（15分）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？学科网（北京）股份有限公司 了解人工智能不了解人工智能合计男生女生合计(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差.参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82817．（15分）设曲线在点处取得极值.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.学科网（北京）股份有限公司 18．（17分）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.（1）求等轴双曲线的方程；（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.19．（17分）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”.(1)已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式；(2)已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 2024年高考数学第二次模拟考试数学·参考答案一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678910BDCDBBCCBD二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．12．13.14.4/0.515.①②④三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。16．（本题13分）【详解】（1）过点作⊥，交的延长线于点，连接，因为平面平面，交线为，平面，所以⊥平面，..................................1分因为，，，所以四边形的面积，..................................2分因为四棱锥的体积为1，所以，解得，..................................2分学科网（北京）股份有限公司 因为平面，所以⊥，⊥，因为，为钝角，..................................3分由勾股定理得，所以，..................................4分又，，故四边形为矩形，所以，..................................5分由勾股定理得，故；..................................6分  （2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，，则，解得，..................................7分故，..................................8分设平面的法向量为，，令，得，故，..................................10分设直线PE与平面所成角为，所以...................................12分学科网（北京）股份有限公司   直线PE与平面PBD所成角的正弦值为...................................13分17．（本题13分）【详解】（1）选条件①由题设.所以.因为，所以.所以.所以.选条件②.由题设...................................1分，，..................................2分，，，....................3分整理得...................................5分因为，所以.所以.所以...................................6分（2）由（1）................................8分令，..................................9分所以在单调递增，在单调递减，..................................10分于是，当且仅当，即时，取得最大值1；..................................11分当且仅当，即时，取得最小值.又，即时，..................................12分学科网（北京）股份有限公司 所以的取值范围是...................................13分18．（本题14分）【详解】（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，.................1分于是得，解得，.................2分X的所有可能值为0，2，3，5，，，，，.................5分所以X的分布列为：0235（2）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，则，，.................6分则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，都选择方案B投篮得分和的均值为，则，.................7分，.................8分若，即，解得；.................9分若，即，解得；.................10分若，即，解得..................11分所以当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大；当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等；当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大...................14分19．（本题15分）学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）由题意可得，解得，.................2分所以的标准方程为；.................4分（2）点到直线的距离，.................5分设，联立方程组，整理得，.................7分则，即，.................8分，.................10分所以，.................12分则的面积，.................14分得，又，（由三点不共线可得），所以的取值范围是．.................15分20．（本题15分）【详解】（1），.................2分所以曲线在点处的切线方程，.................3分即．.................4分（2），.................5分令，则，.................6分令，则，.................7分学科网（北京）股份有限公司 当时，，则，.................8分当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递增，且，.................9分所以，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以．所以成立，当时，当时，在上单调递减，，在上单调递减，.................10分因为，所以在上单调递减，此时，舍去．当时，当时，，.................11分在上单调递减，在上单调递增，，舍去；.................12分当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，，舍去，.............14分综上，．.................15分21．（本题15分）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．【详解】（1）对①，取，对，则，学科网（北京）股份有限公司 可得，显然不存在，使得，所以数列不满足性质P；.................1分对②，对于，则，，故，因为，.................2分则，且，所以存在，，使得，故数列满足性质P；.................3分（2）若数列满足性质，且，则有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故数列中存在，使得，即，.................5分反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即这与假设相矛盾，故集合为无限集..................6分（3）设周期数列的周期为，则对，均有，设周期数列的最大项为，最小项为，即对，均有，.................7分学科网（北京）股份有限公司 若数列满足性质：反证：假设时，取，则，使得，则，即，这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；.................8分反证：假设时，取，则，使得，.................9分这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；综上所述：对，均有，.................9分反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，.................10分∵，即为数列中的项，这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，.......11分∵，则，当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，使得，解得或，即或符合题意；.................12分当时，即数列至少有两个不同项，则有：①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；综上所述：或..................15分学科网（北京）股份有限公司 2024年高考第二次模拟考试高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678CADABBDB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．AB10．AC11．AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．413．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【解析】（1）由题意知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面.因为平面，所以..............................................4分又因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以..............................................6分（2）取中点为，连结.取中点为，连结.因为，点是中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面..............................................8分因为点、分别是、的中点，所以，则.学科网（北京）股份有限公司 则，.以点为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，.............................................9分设是平面的一个法向量，则，取，则，所以是平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为，则，.............................................12分所以直线与平面所成的角的正弦值为..............................................13分16．（15分）【解析】【小问1详解】（1）因为，所以了解人工智能的女生为，了解人工智能的总人数为，则了解人工智能的男生有人，.............................................3分结合男生和女生各有人，填写列联表为：学科网（北京）股份有限公司 了解人工智能不了解人工智能合计男生401050女生302050合计7030100因，故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关..............................................7分【小问2详解】（2）①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，.............................................9分所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；.............................................11分②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为，将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，由题意可知，，所以，，..............................................15分17．（15分）【解析】【小问1详解】（1）因为，故可得，又因为，故可得，解得，经检验符合题意..............................................6分【小问2详解】（2）由（1）可知，，令，解得，又因为函数定义域为，学科网（北京）股份有限公司 故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.故的极大值为；的极小值为.........................................15分18．（17分）【解析】【小问1详解】（1）由椭圆可得，所以等轴双曲线的顶点为，设等轴双曲线为，所以，所以等轴双曲线的方程为；.............................................6分【小问2详解】（2）设，，,,设直线的方程为，直线的方程为，由得：，.............................................8分所以显然成立，所以，同理可得，.............................................10分所以，，联立直线和：，解得，所以，.............................................13分学科网（北京）股份有限公司 因为在双曲线上，所以，解得，所以，.当且仅当，即时，取得最小值..............................................17分19．（17分）【解析】【小问1详解】（1）设等差数列的公差为，则，由，得.由题意得，对均成立，.............................................3分当时，上式成立.当时，，又，等差数列的通项公式为..............................................6分【小问2详解】（2）等比数列得，由于数列为“数列”，且为正整数，，.在数列中，为最小项，由数列为“数列”可知，.............................................9分要对恒成立，只需.又，即.，，，，，.当，时，，则..............................................13分令.学科网（北京）股份有限公司 数列为递增数列，即.若数列是“数列”，则对任意的都有，即对任意的恒成立，即，解得..............................................17分学科网（北京）股份有限公司