2024年新高考第二次模拟考试 数学（全国卷）（理科）（考试版A4）.docx

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2024年高考高三第二次模拟考试数学（理科）试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（    ）A．B．C．D．2．设为虚数单位，且，则（   ）A．B．C．D．3．若向量满足，且，则在上的投影向量为（    ）A．B．C．D．4．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（    ）A．244B．243C．242D．2415．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（    ）A．B．C．D．6．已知函数，则是（    ）A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数7．“直线与平行”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件学科网（北京）股份有限公司 C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（   ）A．B．C．D．39．展开式中常数项为（    ）.A．11B．C．8D．10．若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（   ）A．B．C．D．或11．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（    ）A．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为B．异面直线与所成角的余弦值为C．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为D．过点、、的平面截正方体所得的截面周长为12．若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（   ）A．B．C．或D．或第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，写出符合条件的一个角的值为.14．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．15．已知函数满足对任意的实数m，n都有，则曲线在处的切线方程为．学科网（北京）股份有限公司 16．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．18．（12分）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．  (1)求证：；(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为.学科网（北京）股份有限公司 （ⅰ）设，证明：；（ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率．附：若随机变量服从正态分布，则，，．20．（12分）已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；(2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．21．（12分）已知函数，．(1)若恒成立，求a的取值集合；(2)证明：．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程学科网（北京）股份有限公司 22．（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点．(1)求曲线的普通方程；(2)若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数的最小值为，若且，求证：．2024年高考第二次模拟考试数学（理科）·参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112DDDABABCBDDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．14．15．16．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．学科网（北京）股份有限公司 （一）必考题：共60分．17．（12分）【详解】（1）设等差数列的公差为，又，则，，因为成等比数列，所以，即，得，又因为是公差不为零的等差数列，所以，即....................................................6分（2）由（1）知，.....................................................12分18．（12分）【详解】（1）因为，且，可得，，又因为，可得，所以，则，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以；....................................................6分（2）因为平面，且平面，所以，如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，可得，，，，所以，．....................................................7分学科网（北京）股份有限公司 设平面的法向量为，则，令，可得，所以，....................................................9分假设存在点，使得与平面所成角为，设，（其中），则，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．....................................................12分  19．（12分）【详解】（1）由题设得，，所以...................................................3分（2）（ⅰ）由题设得：，,所以．...................................................8分（ⅱ）由（ⅰ）得，所以第天元件，正常工作的概率均为．为使第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作，因此所求概率为．....................................................12分学科网（北京）股份有限公司 20．（12分）【详解】（1）设直线的方程为，与联立得，由得，设，则，所以，由题意知，因为，所以，所以，故即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得，满足条件，所以直线的方程为．....................................................6分（2）证明：设直线的方程为，与联立得，，所以，所以．由（1）知，所以，即点A的坐标为．又点A在抛物线上，所以，所以，又，所以，所以点A的横坐标，同理可证，B，C两点的横坐标也小于2．所以三个顶点的横坐标均小于2．....................................................12分21．（12分）【详解】（1）由题可知函数的定义域为，，令，得，由x，，列表如下学科网（北京）股份有限公司 xa0递减极小值递增，因为恒成立，所以，．令，则，由x，，列表如下x10递增极大值递减．又，，，，，故a的取值集合为．....................................................5分（2）由（1）可知，当时，，即，，（当时，“”成立），令，，则，，由累加法可知学科网（北京）股份有限公司 累加可得，即，令，，恒成立，在区间上单调递减，，，，....................................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得，，，即（为焦点在轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线的倾斜角为，直线过点直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，可得，，学科网（北京）股份有限公司 设，两点所对的参数为，，曲线与轴交于两点，在曲线的内部，一正一负，，而，，，，，解得，为直线的倾斜角，，，，或，直线的倾斜角为或.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）【详解】（1）不等式可化为或，由，可得，解得或；由，可得，解得，所以不等式的解集为．....................................................4分（2）由题意，知，当时，，因在上单调递减，则；当时，，因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是；当时，，因在上单调递增，则.综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，学科网（北京）股份有限公司 因，所以，当且仅当时等号成立，故．..................................................10分学科网（北京）股份有限公司