四川省绵阳南山中学2024届高三上学期10月月考试题 数学（理）题 Word版含解析.docx

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绵阳南山中学高2021级高三上期10月月考试题理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解出集合中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为，，所以.故选：A2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，对于C，若，显然满足，，故C错误，对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，当，则，函数在上单调递增，所以，当，则，综上可知D正确，故选：D 3.设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（）A.2B.C.2或D.2或【答案】A【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.【详解】由，有，即．由等比数列的通项公式得，即，解得或，由数列为正项等比数列，∴．故选：A4.如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.故选：B5.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃ 时，经过的时间约为（）参考数据：，.A.3.048分钟B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，，，，代入公式得：（分钟），故选：C.6.已知命题p：函数在上单调递减；命题，都有．若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出为真命题时的范围，进而根据中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p为真，则，若为真，则，由于为真命题，为假，则中一真一假若真假，则满足：；若真假，则满足：，此时无解，综上故选：A 7.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】从图像利用排除法进行求解：先分析奇偶性，排除B；计算排除C；根据时，；排除D.即可得到答案.【详解】对于，定义域为关于原点对称.因为，所以是偶函数，排除B.当时，，排除C；当时，，，；排除D.故选：A.8.已知，则（） A.B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：由诱导公式可得，所以，.因此，.故选：D.9.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．10.若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出，，再利用基本不等式求解.【详解】设切点为，则有， ∵，∴，，（当且仅当时取等）故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上所有根的和为（）A.32B.48C.64D.80【答案】C【解析】【分析】根据奇函数性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为是奇函数，所以由，因此函数的周期为，当时，，所以当时，，当时，由，所以，所以当时，，于当时，，该函数关于点对称，而函数也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示： 由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于对称的点，所以方程在上所有根的和为，故选：C【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.12.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.【详解】依题意得，，即，，，即，，，，又， 同构函数：，，则，又，，，，又，，单调递增，，.故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）函数零点即为函数的取值；（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为______．【答案】【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作目标函数对应的直线：，在直线中，纵截距为，向下平移直线时，减小，由，得，即， 因此向下平移直线，当过点时，为最小值．故答案为：．14.已知向量，且，则___________.【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故答案为：.15.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】构造函数，由导数确定其单调性，题设不等式化为，再利用单调性变形求解．【详解】令，则， ∴在上是减函数，，不等式化为，即，也即为，所以，.故答案为：，16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，； 所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设函数．（1）求函数的单调递增区间及对称中心；（2）当时，，求的值．【答案】（1）单调递增区间是；，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；（2）由两角差的余弦公式计算．【小问1详解】 由题意得：，由，可得；所以的单调递增区间是；令，，解得：，，此时函数值为，所以对称中心为，．【小问2详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．18.在各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列．等差数列满足，．（1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和为．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;（2）用裂项相消法进行求解即可【小问1详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列的公差为d，因为，，成等差数列，所以即，因为，，所以，解得或（舍去），所以，，由可得，解得，所以；【小问2详解】因为，所以，所以19.在中，角的对边分别为，其中，且.（1）求角的大小；（2）求周长的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；【小问1详解】解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；【小问2详解】解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为20.已知函数，其中a是正数．（1）讨论的单调性；（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．【小问1详解】 因为，所以．①当时，，在上严格递增；②当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；③当时，由得或，由得，所以单调递增，在上单调递减，在单调递增；【小问2详解】由（1）可知①当时，，在上严格递增，此时在上的最大值为；②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值只有可能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时；③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值可能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时，由①②③得，，∴满足条件的a的取值范围是．21.已知函数（为自然对数的底数），. （1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.（2）先利用参数放缩转变成恒成立，再通过参变分离转化成最小值问题.【小问1详解】有两个零点，关于的方程有两个相异实根，，有两个零点即有两个相异实根.令，则，得，得在单调递增，在单调递减，，又当时，，当时，，当时，有两个零点时，实数的取值范围为；【小问2详解】 ，所以原命题等价于对一切恒成立，对一切恒成立，令，令，则在上单增，又，使，即①，当时，，即在递减当时，，即在递增，由①知，，函数在单调递增，即 实数的取值范围为.【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.（二）选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.【小问1详解】由（为参数），得，故曲线C的普通方程为．由，得，故直线l的直角坐标方程为．【小问2详解】由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）． 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，设A，B对应参数分别是，，则，，故．23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以等价于，或，或，解得或或，所以，即不等式的解集为．【小问2详解】因为，当且仅当时等号成立；所以函数的最小值为，由已知可得，所以或，解得或，即a的取值范围．