2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 (1).pptx

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1第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 2定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函数.的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化. 32.隐函数求导法隐函数求导法则用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化？如何求导 4例解则得恒等式代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得因为y是x的函数,是x的复合函数,所以求导时要用复合函数求导法,0=x0=y0=x0=y.1= 5虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数, 6例解 7 8例解将上面方程两边再对 9或解解得23)4(xy-)112(2-¢yy 10例求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a证故曲线上任一点处切线的斜率为 11切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为 123.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法然后利用隐函数的求导法求出导数. 13例解等式两边取对数得隐函数对这类型的题用取对数求导法很方便哦！ 14两边对x求导得等式两边取对数得)(ln)(xuxv.¢ 15例解等式两边取对数得 16注复合函数改写成如上例则只要将幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导, 17有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求导xb+ 18练习解答 19二、由参数方程所确定的函数的导数如?称此为由参数方程所确定的函数.消参数困难或无法消参数如何求导.消去参数,间的函数关系与确定xy 20所以,单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得 21例 22解 23例解所求切线方程为 24 25如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理. 26 27例解容易漏掉 28为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对t求导相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率相关变化率之间的关系式代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3) 29例解(1)(2)仰角增加率(3)aa22tan1sec+=500,1tan,500==a时当h 30隐函数求导法则工具:复合函数链式法则.对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链式法则、反函数求导法则.相关变化率通过函数关系确定两个变化率之间的解法:三个步骤.关系,从其中一个变化率(已知)求出一个变化率;内容小结 31思考与练习求其反函数的导数.1.设由方程确定,求2.设3.,求4.设 32思考与练习求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导1.设 33由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①2.设 34运用取对数求导法两边关于x求导：解3. 35整理得 ,求解：4.设方程组两边同时对t求导,得36 作业P109:2,3(3)(4),4(1)(3),7(2),8(2)(4).