隐函数及参数方程所确定的函数的导数相关变化率

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1、第四节隐函数的导数参数方程所确定的函数的导数内容提要1.隐函数的导数；2.由参数方程所确定的函数的导数。教学要求1.熟练掌握隐函数所确定的函数的一阶导数的求法；2.掌握参数式的函数的一阶、二阶导数的求法；3.熟练掌握对数求导法。一、隐函数的求导法1.显函数、隐函数的概念(1)显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式(2)隐函数:若变量y与x之间的函数关系是由某一个方程0),(=yxF所确定,那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的隐函数.也可以确定一个函数,称为显函数.来表示的这种函数,方程把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化(1)、复合函数求导法则隐函数求导法,就是不

2、管隐函数能否显化,直x接在方程0),(=yxF的两端对求导,由此得到隐函数的导数，若y是由0),(=yxF所确定的函数,将方程两边对x求导,但要把y看成中间变量,应用复合函数求导法则进行求导。注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数.如方程0=+-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?例1求由方程222Ryx=+所确定隐函数的导数dxdy解这里2y可以看作是以y为中间变量的复合函数运用复合函数的求导法则,在方程两边对x求导,隐函数求导的结果中,可能会含有变量y.它与显函数不同,显函数求导结果中,只含有自变量x注意:例2求由方程0=+-yxee

3、xy所确定隐函数的导数解运用复合函数求导法则,在方程两边对x求导,得00==xy,可以看作y为中间变量的复合函数,例3求由方程422=++yxyx确定的曲线上点)2,2(-处的切线方程和法线方程，解方程两边对x求导,于是故曲线上在点)2,2(-处切线的斜率为22-==¢=yxyk2222-==++-=yxyxyx1=切线的方程为法线的方程为02)1(22=++xyx解yyxarctan)2(+=解练习求由下列方程所确定的隐函数的导数(2).对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:下面介绍对数求导法解等式两边

4、取对数得例1（隐函数）例2已知函数解等式两边取自然对数得xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。解等式两边取自然对数：等式两边取对数得解练习二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?在参数方程中，即运用复合函数求导法则,如果函数具有二阶导数,例1求由参数方程所确定函数的一阶导数和二阶导数解由参数方程的求导方法,得一阶导数或tdxdycot-=导数再用参数方程的求导方法,得二阶例2求摆线îíì-=-=)cos1()sin(tayttax在2p=t处的切线方程和法线方程解由参数方程

5、的求导方法,得摆线上点当时,处切线斜率为切线方程为法线方程为练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数注意：注意：解当时,处切线斜率切线方程为法线方程为隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;小结作业P111习题2-41(1)(3)2、4(1)5(1)(2)、8(1)(4)