《三角函数的简单应用》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

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第一章三角函数1.8三角函数的简单应用◆教学目标1．对一些简单的周期变化，能够选择适当的三角函数模型，用来刻画和解决实际问题；2．通过解决周期变化的数学应用过程，进一步掌握数学建模的方法，提高数学建模的能力．◆教学重难点◆重点：利用所学的三角函数的相关知识，解决具有周期变化规律的水车问题．难点：利用数学知识解决实际问题．◆教学过程一、新课导入现实世界和生产生活中，存在着大量的周期变化的现象．例如，单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y=Asinωx+φ，其中x表示时间，y表示位移，A表示振幅，ω2π表示频率，φ表示初相位．如图是单摆的示意图，点O为单摆的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，则当摆球到达点C时，摆球的位移y达到最大值A；当摆球到达点O时，摆球的位移y为0；当摆球到达点D时，摆球的位移y达到反方向最大值-A；当摆球再次到达点O时，摆球的位移y又一次为O；当摆球再次到达点C时，摆球的位移y又一次达到最大值A．这样周而复始，形成周期变化．由此我们不难体会到周期变化现象是自然界中常见的现象之一，而三角函数是研究周期变化现象的重要数学模型，在这一节里，我们将通过实例，初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．二、新知探究 （水车问题）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具．如图，是一个水车工作示意图，设水车（即圆周）的直径为3m，其中心（即圆心）O到水面的距离b=1.2m，逆时针匀速旋转一周的时间是43min．水车边缘上的一点P距水面的高度为h(单位：m)．问题1：求h与旋转时间t(单位：s)的函数解析式，并画出这个函数的图象．答案：设点P在水面上时的高度为0，当P点旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值．(1)过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h．过水车中心O作PM的垂线，交PM于点N，设点Q为水车与水面交点，∠QON=φ．由已知，水车的半径R=1.5m；水车中心到水面的距离b=1.2m；水车旋转一周的时间T=43min=80s，转速为ω=2πT=40πrad/s．不妨从水车与水面交点Q开始计时(t=0)，旋转ts水车转动的角的大小为α，即∠QOP=α=ωt=π40trad．从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsinα-φ+b．因为sinφ=1.21.5，所以φ≈53.1°=0.295πrad．因此h≈1.5sinπ40t-0.295π+1.2，这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式．找出使π40t-0.295π取0，π2，π，3π2，2π的五个关键点，列表(如下图）、描点，画出函数在区间0，91.8上的图象(如下图）：t11.831.851.871.891.8 h≈1.5sinπ40t-0.295π+1.21.22.71.2-0.31.2问题2：当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？答案：当雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化．水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大．如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢则使周期T增大．二、应用举例1．下面是一份某旅游城市某年的月平均气温统计表．x（月）123456t（℃）17.317.917.315.813.711.6x（月）789101112t（℃）10.069.510.0611.613.715.8(1)根据这个统计表提供的数据，为该城市的月平均气温做一个函数模型；(2)当月平均气温不低于13.7℃时，该城市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定该城市的最佳旅游时间． 答案：(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得到如图所示曲线． 由于该城市月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，根据散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t=Acosωx+φ+k来描述．因为最高气温为17.9℃，最低气温为9.5℃，所以A=17.9-9.52=4.2，k=17.9+9.52=13.7，T=12=2πω，则ω=π6．为x=2时t取得最大值，所以cosπ6×2+φ=1，所以2π6+φ=2kπk∈Z，可取φ=-π3，所以t=4.cosπ6x-π3+13.7为该城市的月平均气温做一个函数模型．⑵如图所示，作直线t＝13.7，与函数图象交于两点（5，13.7），（11，13.7）．由图可得该年1~5月份和11~12月份的月平均气温不低于13.7℃，是该城市的最佳旅游时间．二、课堂练习1．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是（　　）A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为-5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零　　 2．某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律变化．⑴求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t(单位：月)的函数解析式；⑵画出这个函数的图象．答案：1．解析：由图象可知T2=0.7-0.3=0.4，∴T=0.8，A错误；由振幅的定义知，该质点的振幅为5cm，B错误；质点在0.1s和0.5s时，位移最大，此时速度为0，C错误；在0.3s和0.7s时，质点的位移为0，则受到的回复力为0，此时加速度为零，故D正确．故选D．2．(1)设所求函数解析式为y=Asinωt+φ+b，则b=700+9002=800，A=900-7002=100，且T2=6,所以T=12=2πω，则ω=π6，所以y=100sinπ6t+φ+800．又因为在1月1日时，昆虫种群数量最低，即当t=1时，y取得最小值，所以sinπ6×1+φ=-1，所以π6+φ=-π2+2kπk∈Z,可取φ=-2π3，所以y=100sinπ6t-2π3+800．(2)由于函数y=100sinπ6t-2π3+800，通过取值列表，可得到图象如图所示：五、课堂小结1．解三角函数应用问题的基本步骤：第1步：审清题意，读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题． 第2步：建立函数模型，整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识以及其他相关知识建立解析式，即建立三角函数模型．第3步：解答函数模型，利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．第4步：将所得结果翻译成实际问题的答案，得出结论．六、布置作业教材第66页习题1-8A组、B组．