有关常数项级数的几个典型例题_图文

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1、万方数据第】4誊第3期高等数学研究V01．14，No．3有关常数项级数的几个典型例题魏光美(北京航空航天大学数学与系统科学学院数学信息行为教育部重点实验室。北京100191)摘要通过实例考察常数项级数收敛和发散时一般项的一些特点．并讨论级数不满足比值判别法、根值判别法或莱布尼茨定理的条件时的收敛性问题．关键词常数项级数；正项级数判别法；交错级数判别法中图分类号0173．1文献标识码A文章编号1008—1399(2011)03—0030—04常数项级数的收敛性判别问题在高等数学教学中既是重点又是难点，解决问题的关键是如何正确理解并正确选择合适的

2、判别方法．本文通过一些典型例题来讨论常数项级数的收敛性判别问题．正项级数的判敛问题是常数项级数判敛的重要内容，通常有四种方法[1。2]：积分判别法、比较判别法、比值判别法和根值判别法．例l(2005年北京市数学竞赛试题)举例说明∞存在收敛的正项级数>：‰，但“。≠。(土)，这里的。(土)是土的高阶无穷小(n一。。)．解不妨取怯n2n‰一协挖纠，蜒№显然有，1“1—1’“2一百’“32可’“4一百’⋯所以“。≠o(二)(n_。。)，但是蚤n唯一童白磊1+奎白虿1≤2客砉，根据比较审敛法知级数∑“。收敛．收穑日期：2010一11—29；修改日期：

3、2011—03—21．基金项目：国家精品课程建设项目(《高等数学》)．作者简介：魏光美(1967--)。女，重庆万州人．博士．副教授，从事孤立子理论研究．Email：gmwei@buaa．edu．crl．例2举例说明存在收敛的正项级数∑H。收敛，但∑“。Inn发散。解不妨取蚤“n2墨丽1(M·一o)，那么蚤u加一互志-o。．’∞．根据积分判别法知薹五1一发散，而至上n(1rm)21nn收=n：=二敛，所以满足要求．例3[2‘33当极限lira—U，r—4-1(1)tr+∞“¨不存在时，正项级数∑“。可能收能，也可能发散．n=l解若取2+(一1

4、)”“”一——j■一’一那么一“井l—nn。2蹦h2+(一1)计1耀再彳丽’从而有1一lim。％2言，lima2计l=昔，¨—+∞厶所以极限(1)不存在．然而，由于有“。≤万3，根据比较判别法可知级数∑‰收敛．1I=1万方数据第14卷第3期魏光芙：有关常数项级数的几个典型例题3l若取2+(一1)”‰2——-’则有一等=舞镱鲁‰，从而有．．1一lira。口2一一了’，卜·∞．)lima2抖l=3，因此，极限(1)不存在．显然级数∑‰也发散．例4[￡当极限lim汇(2)不存在时，正项级数∑“。可能收敛，也可能发散．解如果取五。=(志)“，那么‘b

5、。=机i=FFF：而’从而有璺屯=÷，limb2,,+l=寺，^—’∞厶所以极限(2)不存在．值显然有‰≤万1，根据比较判别法知级数∑“。收敛．H=l如果取M。=(半)1，那么巩=汇=半，从而有坚62，I一号，n—·田厶，1．imbz抖。=丢，I．厶所以极限(2)不存在．由于妻‰的前2n项部分和‰=∑H。H+∑“。。^=lI=l客(吉)酗1+k奎=l(吾)牡>客(虿3)默，因而根据比较判别法知级数∑“。发散．注1例3和例4说明比值判别法和根值判别法的条件都只是充分的．当极限(1)或(2)不存在时，级数∑‰可能收敛也可能发散．注2例3中级数妻生

6、掣虽然不能用比值判别法判断，但可以用根值判别法判断．因为lira汇一妻<1，所以袅数妻玺土笔』上收敛．由此可以看出，根值判别法强于比值判别法．这是否具有一般性呢?下面的定理将给出答案：能由比值判别法判断的级数一定也可以用根值判别法判断．定理1若正项级数∑‰满足lim竽一ID(P<。。或P一。。)，P∞甜”则有lim瓴一p．证明只证00，所以对任意E>O(eN时，成立不等式I等l<￡，即当n>N时，有0<(JD一￡)“。

7、“Ut,,p,-1

8、}存在极限大于1的子列，则该级数发散．证明不妨设{6～)是{汇)的一个子列，且卜lira。吒一P>1，则由根值判别法可知∑“～发散，故∑M。发散．注3定理2可以作为