1、级数典型例题有关级数的典型例题例1讨论下列级数的敛散性．如果收敛，试求出级数之和：¥2n (1)å；n=13 n +1 2n2解lim x=lim=¹0，故该级数发散．nn®¥n®¥3n+13¥n(2)åq cosnx ，(
2、q
3、 <1 )．n=1解令z=cosx +isinx ．由
4、q
5、 <1 ，有
6、qz
7、 <1 ．一方面，¥n qzqcosx+qisin x å(qz)==n =1 1-qz1-qcosx-qisinx2(1 -qcosx +iq sin x )(q cosx +iq si
8、n x )qcosx -q q sin x ==+i ；22222(1 -q cosx )+q sin x 1 -2 q cosx +q 1 -2 q cosx +q n另一方面，注意z=cosnx +i sin nx ，又有¥n23 n å(qz)=qz+(qz)+(qz)+L+(qz)+Ln =1 2233 nn =qz+qz+qz+L+qz+L22 nn =qcosx+qisinx+qcos2x+qisin2x+L+qcosnx+qisin nx ¥¥nn =åqcosnx+iåqsinnx
9、.n=1n =1 比较以上两式，就有2¥¥qcosx -q q sin x nn2+i 2=åqcosnx +i åq sinnx ．1 -2 q cosx +q 1 -2 q cosx +q n=1n=1¥2nqcosx -q 由两复数相等的条件，即得åqcosnx =2．n=11 -2 q cosx +q 例2讨论下列正项级数的敛散性：¥2-n(1)åne ；n=12¥解这是正项级数lim n x=lim n n=1<1，所以ån2e -n<+¥．n n n ®¥n ®¥e e n=11 级数
10、典型例题¥n2n!(2)å．nn=1nxn +1n nn 2n +1 2(n+1)!næö解这是正项级数．lim=lim ×=2lim ç÷=<1，n ®¥x n®¥(n+1)n +1 2n n!n ®¥èn+1øe n ¥n2n!因此å<+¥．nn=1n¥¥x n 例3设åx n和åy n是两个正项级数．若lim=0或+¥，请问这两个级数n ®¥y n=1n=1n 的敛散性关系如何？x n 解若有lim=0，则n ®¥y n ¥¥1)åyn<+¥，则åxn<+¥．事实上，取e=1，则$N，"n>
11、N时，有n=1n=1¥¥x n0£<1 ，即0 £xn
12、ö¥¥11111111解1-+-+-L=åçç-÷÷=å-å．2!34!5n =1 è2n-1(2n)!øn=12n-1n=1(2n)!¥¥111111由于å=+¥，å<+¥，因此级数1-+-+-L发散．n=12n-1n=1(2n)!2!34!5¥n+1x (2)å(-1)sin；n=1n2 级数典型例题x解x =0时，该级数绝对收敛．设x ¹0，则n充分大后，sin不变号且单n调趋于零，该级数为Leibniz型级数，因此收敛．但¥¥n+1x x
13、 x
14、 1
15、x
16、 (-1 )sin =sin ～
17、．由å=+¥，故å=+¥，从而n n nn=1nn=1n¥n+1x å(-1)sin=+¥．此时该级数条件收敛．n=1n¥2 n +1 nn (3)å(-1)x ．n n =1 2¥n2 n2x n n +1 n n+1n2 解
