有关数列极限的几个典型例题_岳静.pdf

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1、○数学教学与研究2011年第70期周刊有关数列极限的几个典型例题岳静（宿迁高等师范学校，江苏宿迁223800）摘要：作者通过实例分析了数列收敛和发散时通项的1lim（lnx+lnx+…+lnx）=lnA.一些特点，并讨论数列不满足单调有界定理、迫敛定理、柯西12nn→∞n收敛准则和两个重要极限的条件时的收敛性问题.1（lnx+lnx+…+lnx）12n关键词：数列极限单调有界定理迫敛定理柯西收nnlnA从而limxx…xe=e=A.姨12n=limn→∞n→∞敛准则两个重要极限当A=0时，limx=-∞，故nn→∞数列收敛性问题在高等数学教学中既是难点又是重点，1lim（lnx+ln

2、x+…+lnx）=-∞，数列收敛问题的判别方法通常有以下几种：单调有界定理、迫n→∞n12n敛定理、柯西收敛准则和两个重要极限等.解决问题的关键是1（lnx+lnx+…+lnx）12n如何正确理解并选择合适的方法.本文通过一些典型例题来nn于是limxx…xe=0.姨12n=lim讨论数列的收敛性问题.n→∞n→∞注1：例1和例2的逆命题不成立.例1.若limx=A，其中A是有限数、+∞或-∞，则有limnnn→∞n→∞例如数列{x}，其中x=（-1）（n=1，2，3…）.易知limnnx+x+…+xn→∞12n=A.x+x+…+xn12n不存在.对于数列{y=0，但是极限limx}

3、，其中y=nnnn证明：当A是有限数时，由limx=A，坌ε＞0，埚N，当n＞Nnn→∞n11n→∞n（n=1，2，3…）.容易看出limyy…y，但是极限limy不存在.ε姨12n=1n时，有

4、x-A

5、＜.n→∞n→∞n2xn+1定理1：设x＞0（n=1，2，3…），满足lim=A（A是有限或因此nn→∞xnx+x+…+x（x-A）+（x-A）+…+（x-A）n12n12n无穷），则有limx-A≤姨n=A.n→∞nn证明：不妨设

6、x1-A

7、+…+

8、xN1-A

9、

10、xN1+1-A

11、+…+

12、xn-A

13、xx≤+2nnny1=x1，y2=，…，yn=，….xxkn-NεKε1n-11＜+·

14、＜+，由例2得：nn2n2nlimyy…yy，其中K=

15、x-A

16、+…+

17、xN-A

18、.n→∞姨12n=nlim→∞n11Kε所以又存在N，当n＞N时，＜.22xxn2nnnn+1limxyy…yy=lim=lim=A.姨n=lim姨12n=limn因此当n＞max{N，N}时，n→∞n→∞n→∞n→∞xn→∞x12n-1nx1+x2+…+xnεε例3.证明：limn=e-A＜+=ε.n→∞nn22姨n！n当A=+∞时，由limxn=+∞，坌M＞0，埚N1，当时n＞N1，因此xn＞3M.nn→∞证明：设x=，则n因此n！n+1x1+x2+…+xnx1+x2+…+xN1xN1+1+xN2+

19、2+…+xnxn+1（n+1）n！1n=+lim=lim·=lim（1+）=e.nnnn→∞xn→∞（n+1）！nn→∞nnnKn-N1由定理1得＞+·3M，nnnnlim=limxn-Nn姨n=eK1n→∞姨n！n→∞其中K=x1+x2+…+xN1.由于→0，→1（n→∞），nnn例4.求极限lim

20、K

21、Mn-N1n→∞n从而存在N，当n＞N时，＜，1＞.故姨（2n-1）！！22n2n2nnx1+x2+…+xn11解：令xn=，则＞·3M-M=M.（2n-1）！！n22n+1xn+1（n+1）（2n-1）！！1nn+1e类似可证A=-∞情形.lim=lim·=lim（1+）=.n→

22、∞xn→∞（2n+1）！！nn→∞n2n+12例2.若limnnnx=A，且x＞0（n=1，2，3，…），则limxx…xnn姨12n=A.n→∞n→∞由定理1得证明：由limx=A，且x＞0（n=1，2，3，…），得A≥0.n→∞nnnnelim=limx.n姨n=当A＞0时，limlnx=lnA，由例1，n→∞n→∞2n姨（2n-1）！！n→∞76周刊2011年第70期○数学教学与研究数形结合思想在解题中的应用丁金霞（丹阳市珥陵高级中学，江苏丹阳213362）所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数与形相互转化来解决数学问题的思想方法.某些数量关系的问题可以借助于它们图形

23、的性质，使问题变得直观而形象；某些涉及图形的问题可以转化为数量关系，从而获得简洁而一般的解法；还有些问题同时使用图形和数量关系，也可以得到很简便的解法.因此，恰当地运用数形结合思想解题可以使许多数学问题变得形象而简单.数形结合通常包括以形助数、以数助形、数形互助三方图1面.作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一%2%2解：f（x）=姨x+15-姨x+6x+13方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”%2%2%22的分析加以解