第一讲 数列的极限典型例题

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1、第一讲数列的极限一、内容提要1.数列极限的定义，有.注1的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有无限趋近于另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式.还表明数列无限趋近于的渐近过程的不同程度,进而能估算趋近于的近似程度.注2　若存在，则对于每一个正数，总存在一正整数与之对应，但这种不是唯一的，若满足定义中的要求，则取，作为定义中的新的一个也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个则必存在无穷多个正整数可作为定义中的．注3　的几何意义是：对的预先给定的任意邻域，在中至多除去有限项，其余的无穷多项将

2、全部进入．注4　，有.2.　子列的定义在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列，记为，其中表示在原数列中的项数，表示它在子列中的项数．注1对每一个，有．注2对任意两个正整数，如果，则．反之，若，则．注3，有.注4的任一子列收敛于.3.数列有界对数列，若，使得对，有，则称数列为有界数列．4.无穷大量对数列，如果，，有，则称为无穷大量，记作．22注1只是一个记号，不是确切的数．当为无穷大量时，数列是发散的，即不存在．注2若，则无界，反之不真．注3设与为同号无穷大量，则为无穷大量．注4

3、设为无穷大量，有界，则为无穷大量．注5设为无穷大量，对数列，若，使得对，有，则为无穷大量．特别的，若，则为无穷大量．5.无穷小量若，则称为无穷小量．注1若，有界，则．注2若，则；若，且使得对，，则．6.收敛数列的性质（1）若收敛，则必有界，反之不真．（2）若收敛，则极限必唯一．（3）若，，且，则，使得当时，有．注这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若，，且，使得当时，有，则．注这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列、皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列，，，（

4、）也收敛，且有　　　　　　　　　　　　　，22　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　（）．7.迫敛性（夹逼定理）若，使得当时，有，且，则．8.单调有界定理单调递增有上界数列必收敛，单调递减有下界数列必收敛．9.Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件是：，有．注　Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值．10.BolzanoWeierstrass定理有界数列必有收敛子列．11.12.几个重要不等式(

5、1)(2)算术－几何－调和平均不等式：对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立.（3）Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式22（４）Cauchy－Schwarz不等式:　(),有　　　　　　（５），13.　O.Stolz公式二、典型例题1．用“”“”证明数列的极限．（必须掌握）例１　用定义证明下列各式：（１）；（２）设，，则；（97，北大，10分）（３）证明：（１），欲使不等式　　　　　　　成立，只须，于是，，取，当时，有　　　　　　　

6、即．（２）由，，知，有，则于是，，有，即　　　　　　　　　　　　　．（３）已知，因为22，所以，，欲使不等式成立，只须．　　于是，，取，当时，有　　　　　　，即　　　　　　　　．评注１　本例中，我们均将做了适当的变形，使得，从而从解不等式中求出定义中的．将放大时要注意两点：①应满足当时，．这是因为要使，必须能够任意小；②不等式容易求解．评注２　用定义证明，对，只要找到一个自然数，使得当时，有即可．关键证明的存在性．评注３　在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：（１），有（为任一正常数）.（２），有

7、.例２　用定义证明下列各式：（１）；（92，南开，10分）（２）证明：（１）（方法一）由于（），可令（），则22（）当时，，有　　　　　　即　　　　　．，欲使不等式成立，只须．于是，，取，当时，有，即　　　　　　　　．（方法二）因为，所以，，欲使不等式成立，只须．于是，，取，当时，有，即　　　　　　　　．（２）当时，由于，可记（），则（）当时，，于是有22．，欲使不等式成立，只须．对，取，当时，有．当时，（），而．则由以上证明知，有，即，故．评注１　在本例中，，要从不等式中解得非常困难．根据的特征，利用二项

8、式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个是变量，一个是定值．评注２　从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处．评注３　第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例　用定义证明：（）（山东大学）证明：当时，结论显然成立．当时，欲使成立，只须．于是，取，当时，有22即　　　　　　　　　　　　　　　．例　设，用“”语言，证明：．证明：当时，结论恒成立．当时，，欲使只须．于是，取，当时，有即