数列极限中的典型例题

《数列极限中的典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数列极限中的典型例题2014.4.30一.不定式求极限()斯铎兹定理1(型）设数列趋于零，数列单调减趋于零，则当存在或为+时,也存在或为+，且方法：罗比塔法则(L’Hospital)(连续情形)斯铎兹定理(Stolz)(离散情形)斯铎兹定理2(型）设数列单调增加且如果存在或为+时，也存在或为+，且例1设,,1.=,证明由及,于是0。在递推公式令取极限得，,所以取例2设,1.且斯铎兹定理2，有证明由因此，.例3设级数证明0证明令及.则于是其中，.由及有所以例4设给定数列使得数列是收敛的,如果证明数列收敛,并求极限证明由于所以,.记做数列和如下:,在记,则得因为,()由

2、于是所以.二.利用递推关系求极限例5设满足:(1)(2)设定义序列:证明存在,且如果存在,且,使得则由条件(2)知证明首先由条件(2)知，在连续，并且至少存在一点,使得下面证明满足上式的是唯一的。矛盾。所以满足的是唯一的。因为于是而例6设定义求证明首先证明对一切有意义。当从而有意义。设对均有意义，由于对不等式恒成立，因此有由此得，从而得，由此可知对一切有意义，并且，数列不减且有上界，所以存在，设。由两边取极限有，因此得，例7证明：从每个收敛的序列中，都可以选出一个子列，使得其各项为一个绝对收敛级数的部分和序列。三.利用数列的构造和性质求极限证明：设数列收敛,且。依次

3、取满足及则即为满足的级数。这是因为例8设,证明：数列与收敛。证明显然，下面证明这两个数列均单调。因为及当时，我们有于是有上式两边同乘以得：由(2)和(3)可得：因此，数列单调递减。由(1)和(3)可得：即数列单调递增。因此数列与收敛，显然它们有相同的极限。作业1.设数列满足：(1)(2)求极限2.设满足:(1)(2)设定义序列:证明存在,且3.设,求