研究题根 走出题海——三次函数切线问题的寻根问源

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1、高中数学教与学2013玺研究题根走出题海——三次函数切线问题的寻根问源段赛花(江苏省苏州工业园区第二高级中学，215121)导数的引入赋予三次函数新的活力，为(A)一1或一25(B)一1或三次函数与其他知识点的交汇提供了一个良好温床，以三次函数为背景的综合性试题也(c)一÷或一62_45(D)一7或7将成为高考数学试题的又一风景线．本文从分析本题与变式1属同一类问题，抓三次函数的本源开始研究题根，寻根问源三住切点便能成功解题．次函数的切线问题．解设过(1，0)的直线与Y=相切于题根曲线Y=在其上点P处切线斜点(。，

2、)，所以切线方程为Y—=3x(一率为k，k=3时，点P的坐标为——．‰)，即Y=3x2ox一2Xo3．又(1，0)在切线上，代分析依题意，P为切点，导数的几何意义就是在切点处切线的斜率．入解得‰=0或。=÷．解令)，=3x=3，得=-'1-1，故点P当Xo=0时，由Y=0与Y：口+一的坐标为(1，1)或(一1，一1)．变式1过点q(2，0)且与曲线Y=相9相切，可得口=一；O斗切的直线方程为一分析本题是题根的一种变式，过某点=吾时m=一与⋯2处的切线与在某点处的切线问题是两种不同+一9相切，可得0=一1．所以选A．

3、题型．解决过某点相切问题，当该点不在曲线上时，一般需设切点坐标P(。，Y。)，切点坐标变式3过点(2，8)且与曲线Y=相切一般满足两个等式：Yo=，(‰)与k=f(。)，的直线方程为——一由此可列方程组解决问题．分析本题是题根与变式1的综合变解设曲线上切点(‰，)，得切线方程式，解题陷阱更为隐蔽．点恰好在曲线上，学为Y=3x(一2)，代人切点坐标得=生常见错误1：写出一条切线方程；常见错误3x(一2)，解得‰=0或3．于是切线方程为2：能分析出变式1的解法，但是因为点在曲线Y=0或27x—Y一54=0．上，还是写出

4、一条切线方程；常见错误3：列式反思点Q在曲线外，不能用题根方法后不会解三次方程．直接来解，设出切点是关键!解设曲线上切点(‰，)，得切线方程变式2(2009年江西高考题)若存在过为Y一8：3。2(一2)．代人切点得一3x+．14=0．解得‰=一1或2，切线方程为3x—Y+点(1，0)的直线与曲线Y=和)，：0+2=0或12x—Y一16=0．一9都相切，则。等于()反思本题还可以用竖式相除法解决三·46·第6聊高中数学教与学一道数列题的多解及多变何晓勤(江苏省仪征市南京师范大学第二附属高级中学，211900)一题多解

5、是指从不同的角度审视分析同于培养发散思维能力、多角度分析问题和解一问题中的数量关系，并用不同的方法求得决问题的能力．下面，介绍一道典型数列题的相同结果的解题过程．一题多变是指教学中多解和多变，供大家参考．由一道问题引出多个相关问题，利用相同或题目已知等差数列{。}，{b}的前／7,相近的解法进行求解．项和分别为．s和，若对一切正整数n均有从一题多解到一题多问、一题多变，有利·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯

6、·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●”次方程求解问题．变式3学生错误明显增加，为Y一(+2+a)=(3+4x0)(—0)．审题不清是一个方面，点的选取正好在曲线把原点坐标(o，0)代入，得2+2x一a：0．上造成学生只求出一条切线，与在某点处的所以过原点向曲线Y=+2+a可作三条切线问题混淆是产生错误的另一重要因素．切线，即方程2+2x一n=0有三个不同的变式4若对任意m∈R，直线+Y+m实数解‰，即函数Y=2x+2与Y=a图象1=0都不是曲线，()=÷一o的切线

7、，则有3个不同的交点．J设g()=2x+2，令g()=6x+4实数。的取值范围是——_．0，得=0或=一^列表如下：分析切线不代表它和曲线只有一个交=点．解，()=一o，对任意，f()≠(一，一÷)03(一了2，o)O0，+a。一1，即一0≠一1，即≠0—1，所以口一1g()+0O+<0，得8<1．g(x)极大值极小值≯反思对“任意”和“都不是”的理解是否正确直接导致解题的成败．正难则反，“是因此，当：一寻时极大值为；当：0曲线切线”的反面就是“都不是曲线切线”．运用逻辑关系实现数学语言的等价转换，可提时极小值为0

8、．由图象得。E(o，)．高学生的思辨力．反思三次函数切线问题的关键点就是变式5过原点向曲线Y=+2+a可设切点，三次函数的图象是解决问题的另一作三条切线，则实数n的取值范围是——．关键．分析本题有无从下手的感觉．如何转研究三次函数切线问题，再把这些问题化为熟悉的问题?与变式1、变式2、变式3一推广到其他函数，例如指数函数，对数函数，样，解题的突破口还是设切点