走进题根，跨出题海--寻根问源之三次函数极值最值-论文.pdf

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1、寻根问源之三次函数极值最值I段赛花导数的引入赋予三次函数新的活力，为』<【jF√3卅o，~{b2~导-e』<’或y三次函数与其他知识点的交汇提供了一个f(1)=1+。+6+a。一10，【6===0良好“温床”，以三次函数为背景的综合性试{J口：=：4，经检验ja：==一S，，当时，f(z)一题也将成为高考数学试题的又一“风景线”．【b一一l1．1b一3本文从三次函数的本源开始研究题根，引出3(z一1)≥0，一1是可疑点，此处没有极源头活水．值，舍去．所以口+6=一7．反思解题后不检验是导致错误的主题根1(教材习题改编)函数，(z)：要原因．对极值的理解要准确：能称为极

2、值÷z。_4x+4的极大值为，极小值0——的，必须满足“左增右减”或“左减右增”，形为．象一点，可用“波峰”和“波谷”帮助理解．——分析求导解决三次函数的极值问题交式2已知函数厂(z)一。+3ax。是最常用的方法．+3(口+2)z+7在R上既有极大值又有极小值，则实数n的取值范围．解由f(z)：z一4—0，得z一±2，分析函数在R上既有极大值又有极可得f(z)在(一Cx3，一2)上单调递增，在小值等价于f(z)一O有两个不等的实根．(一2，2)上单调递减，在(2，十。。)上单调递解f(z)一3x+6ax+3(口+2)一0，增，所以[厂()]极大值：f(一2)一—28，

3、则A一36a一4x3×3(口+2)>O，得口>2或a<一1．LU()]极小值一(2)一一÷．反思三次函数求导后降为二次函变式1已知函数-厂(z)一3C。+ax+数，二次函数有两个不等零点即三次函数既6z+a在z一1处有极值1O，则+b一有极大值又有极小值；二次函数有两个相等零点即三次函数无极值；二次函数没有零点解由f(z)：3z+2ax+b，得即三次函数也无极值，后两者均为单调犷∞岭～⋯it)'!Entratio的．难点之二是分类讨论，含字母参数的讨分析本题主要考查导数在研究三次论是同学们常常忽视的．三次函数就4个函数中的极值的运用．要使函数图象与x轴“造型”，将它们

4、烂熟于心，解决这样的难题有两个不同的交点，只需满足极值中的一个也就轻而易举了．为零即可．变(2012年福建文科卷12)已解因为三次函数的图象与z轴恰有知f(z)一22。一6x+9x—abc，a<6O；②厂(0)厂(1)<0；③厂(O)一1)(+1)，当一±1时，，()取得极值，(3)>O；④(0)(3)<0．其中正确结论的由_厂(1)一0或厂(一1)一0，可得f一2—0或C序号是()+2—0，即得c一±2．’A．

5、①③B．①④反思分类讨论思想的渗透．一些同C．②③D．②④学对图象的认识不全面，往往只考虑到极大秘研究极值NNNN~-致，值为。或只考虑到极小值为o，而导致错误．要使厂(口)：厂(6)：厂(c)一0，必须极大值大交武4函数厂()=1ax3+丢。z2于零且极小值小于零．难点是利用函数单调性得到，(O)<，(口)一0．—2ax+2a+8O的图象经过四个象限，则口的取值范围是．解因为，(z)一z。一6x。+9x-abc，——所以f(z)一3z。～12z+9，令f(z)一0，则分析三次函数的图象要经过四个象z一1或z一3，且当z<1时，_厂(z)>0；当1限，则三次函数不能是

6、单调递增或单调递减-~x<23时，f()3时，f()>0，函数，则厂()一0有两个不等实根，和变式所以当5C=1时，(z)有极大值，当z一3时，2一致，由于最高次项前面有含字母参数，所以还要分类讨论．此外，三次函数还必须有．，(z)有极小值，因为厂()有三个零点，所以，(1)>0，有一正一负两个零点．解由f(z)一n(1z+2)(一1)一0，．厂(3)<0，而且a％l~b％3％c，又厂(3)一27—54+27一abc，故abc>0，即a>0，因此f口>。’-厂(0)0，或l_厂

7、(1)<0(0)(3)>0．故选C．fa％0，麟三次函数的图象是研究三次函I，(-2)o，本，本题一开始研究的就是题根中的问题，哟。酬峨船U担￡撒霞lM钟释变式1有异曲同工之妙．导数与不等式的结f口<一√2—1，合是高考的主旋律．养开始，例如这l1