自考高等数学微分中值定理和导数的应用

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1、第四章微分中值定理和导数的应用一、考核要求Ⅰ知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。Ⅱ能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。Ⅲ会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。Ⅳ会求函数的极值。Ⅴ会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。Ⅵ会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。Ⅶ会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。二、基本概念、主要定理和公式、典型例题Ⅰ微分中值定理今后，如果函数f(x)在某一点x0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中

2、值定理的结论也可以说f(x)在（a，b）内至少有一个驻点。从y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）内至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。从函数y=f(x)的图形看（见下图），连接y=f(x)在[a，b]上的图形的端点A与B，则线段AB的斜率为：将AB平行移动至某处，当AB的平行线与曲线y=f(x)相切时，若切点为x=c，则根据导数的几何意义知：或写作故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。典型例题例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条

3、件的函数是（）①，[-1，1]；②，[-1，1]；③，[1，2]；④，[-1，1]。解：①在[-1，1]上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以在b区间[-1，1]上处处连续满足第一个条件。又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件因此这函数在开间内不是处处可导，只少在0这一点不可导的，因此不满足第二个条件。②在x=o处不可导，∴也不满足第二个条件。③f(1)=1，f(2)=4，∴在[1，2]上满足第三个条件。④，处处可导且处处连续，f(-1)=1，f(1)=1。∴在[-1，1]上满足三个条件。例二

4、：证明方程在（0，1）内至少有一个根。证：用罗尔中值定理解：由于令在[0，1]上满足罗尔定理的三个条件。所以在（0，1）内至少存在一个数c(0＜c＜1)使。∴x=c是方程的根。即x=c是方程的根。例三：证明不等式：arctanb－arctana≤b-a，(a＜b)解：令f(x)=arctanx∴处处存在。∴f(x)=arctanx处处可导，处处连续，所以f(x)=arctanx在[a，b]上满足拉格朗日定理的二个条件，因此存在a＜c＜b，使。即：∴arctanb－arctana＜b-a在第三章我们曾知常数的导数为零，即反过来会问：导数为

5、零的函数是否一定是常数，下面我们证明证：在（a，b）任取两数x1，x2，假定x2＞x1，证明这两个函数值相等的。由于函数在a，b内处处可导，因此根据拉格朗中值定理知道在区间内部处处连续。因此函数在开区间x1，x2内部只少存在一点c使，使在端点的函数值f(x1)-f(x2)=(x2-x1)由于函数在区间内部的导数值永远等于0，所以＝0∴f(x2)-f(x1)=0∴f(x2)＝f(x1)证毕。证：令Ｆ(x)=f(x)-g(x)∴在（a，b）内=-=0∴在（a，b）内Ｆ(x)=c，即在（a，b）内f(x)-g(x)=c∴在（a，b）内f(x)

6、=g(x)+cⅡ洛必达法则当limf(x)=0且limg(x)=0时，或limf(x)=∞且limg(x)=∞时，分式的极限不能用除法公式计算，上面的分式的极限可能存在，也可能是∞，还可能没有极限，因此叫未定式，对于未定式的极限有下面的计算方法，叫洛必达法则，我们不加证明地介绍给学员使用在洛必达法则的条件和结论中，我们没有写明x的变化状态，意思是x→a或x→∞这两情形洛必达法则都正确．洛必达法则的优点在于，在大多情形下，极限的计算较困难，而极限的计算较易，便可将一个较难的计算变为较易的极限计算．洛必达法则在使用时可以简写为即两个无限小相

7、除或两个无究大相除都可用洛必达法则计算，需要法注意的前提是它们的导数必须存在且比值的极限必需是常数或∞。典型例题洛必达法则可以多次使用，需要注意的是使用它的前提必须是未定式或在使用洛必达法则求极限时不要忘记四则运算法则和等价替换原则，综合使用时计算会显得简单。例如在例二中，下面的计算因为x→0时，1-cosx～，进行等价替换会更简单。解：∵x→0时，sinx～x从例八同学们可以看出，无论a为何值，均有：由例七，例八同学们可以看出，x→+∞时，虽然lnx，(a＞0),都是无穷大量，但远大于，远大于lnx。或者说是比高阶的无穷大，（a＞0）

8、是比lnx高阶的无穷大。从上边可以看到，求不定式型或型的极限时，洛必达法则是一种很有效的方法，但同学们必需注意两条：第一，只有不定式型或型才能使用洛必达法则，否则会犯错误。第二，有或时，等式才成立，也就是说