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1、立体几何问题的题型与方法例1、⑴已知水平平面内的两条相交直线a,b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动，转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是（）A.或B.>或D.<⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有()条.A.1B.2C.3D.4⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是().A.30B.50C.60D.90分析与解答:⑴如图1所示,易知直线上点Ａ在平面上的射
2、影是ι上的点B,过点B作BC⊥b,则AC⊥b.在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.显然，AC>BC,∴tan>tan,又、（0，，∴＞.故选C. BACO⑵如图2所示，过空间一点O分别作∥a,∥b,ι则所求直线即为过点O且与都成60角的直线。∵=110，∴∴将两对对顶角的平分线绕 图１O点分别在竖直平面内转动，总能得到与都成60角的直线。故过点O与a,b都成60角的直线有4条，70.从而选D.O⑶过点O分别作∥a,∥b,则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条
3、直线与图217所成角都为60，如图3示，如果或 则或，过O点只有两条直线与O都成60角。如果=90，则，那么过点O有四 条直线与所成角都为60。如果=60，则，图3此时过点O有三条直线与所成角都为60。其中一条正是角的平分线.说明：本组新题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题例2、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且(1)求证：AF⊥AC；(2)求二面角C-AF-B的大小．分析：先来看第1问，我们“
4、倒过来”分析．如果已经证得AF⊥AC，则注意到因为AB=2AA=2a，ABC-ABC是直三棱柱，从而若设E是AB的中点，就有AE⊥AF，即AF⊥平面ACE．那么，如果我们能够先证明AF⊥平面ACE，则就可以证得AF⊥AC，而这由CE⊥平面AABB立得．再来看第2问．为计算二面角C-AF-B的大小，我们需要找到二面角C-AF-B的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AABB，而AF⊥AE，所以，若设G是AF与AE的中点，则∠CGE即为二面角C-AF-B的平面角，再计算△CGE各边的长度即可求出所求二面角的大小．解：(1)如图2，设E是AB的
5、中点，连接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，17∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，∴，∴，∴tan∠CGE=，∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。说明：假设欲证之结论成立，“倒着”分析的方法是非常有
6、效的方法，往往能够帮助我们迅速地找到解题的思路．《直线、平面、简单几何体》关于平行与垂直的问题都可以使用这种分析方法．但需要注意的是，证明的过程必须是“正方向”的，防止在证明过程中用到欲证之结论，从而形成“循环论证”的逻辑错误．例3、一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面a、b之间，AB与a成45o角，与b成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．以CD为轴，将平以AB为轴，将平面BCD旋转至与面ABD旋转至与平面ACD共面平面ABC共面图1图2图3解法１、过D点作DE⊥AB于E，过
7、E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出图3中，∵cosB＝＝,在△BDF中，由余弦定理：DF2＝BD2＋BF2－2BDZBFZcosB＝()2＋()2－2ZZZ＝．（注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴AB⊥平面DEF，∴AB⊥DF．又∵AC⊥平面b， ∴ AC⊥DF．∴ DF⊥平面ABC，∴DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BCZDF＝CDZBD可直接求得DF
8、的长．）在△DEF中，由余弦定理：17cos∠DEF＝＝＝.∴∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线C
