数学教育毕业论文（设计）-浅谈反证法

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1、宁德师范学院毕业论文(设计)专　　业数学教育指导教师学生学　　号题目浅谈反证法　　　　2012年5月27日谈反证法宁德师范学院数学系09级数学教育（2）班福建宁德摘要：介绍反证法的概念、理论根据及一般步骤和宜用反证法证明的命题.关键词:反证法数学适用范围在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一，但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，在运用上又不如直接证法那样顺理成章，而且在归谬过程中学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力，对在怎样的情况下才可采用反证法，学生又不容易判断，所以对反证法的理解和在恰当地应用上都存在不少

2、的问题，因此本文就反证法做一些介绍和探讨.1反证法概念及分类1.1反证法的概念1589年，25岁的意大利科学家伽利略，登上比萨斜塔，同时丢了两个不同的铁球，用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断，这是众所周知的.但你可能不知道，伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体重得多，则应比先落地，现在把和捆在一起成为物体.一方面，由于比重，它应比先落地；另一方面，由于比落得快，、一起时，应“拉了的后腿”，使下落的速度减慢，所以，应比后落地，这个矛盾来源于亚里士多德的断言.因此，亚里士多德的

3、断言是错误的.伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略所用的方法就是反证法.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯（前460年左右），在欧几里得的《几何原本》中也有不少用反证法的范例.我国在五世纪时《张邱建算经》中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法，当正面不容易或者不能证明时，我们可以从命题的反面来思考问题，若能恰当使用，就可以化繁为简,化难为易,特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法，因此认识和掌握反证法就显得十分重要.法国数学家阿达玛在其所著《初等数学教程》中作了最准确、最简明的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其

4、结论，就会导致矛盾”.具体地讲，就是由否定命题结论的正确性出发，根据题设条件、定义、法则、公理、定理，进行一系列正确的逻辑推理，最后得到一个矛盾的结果.即就是通过证明命题结论的反面错误,从而断定命题结论正确.这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法.1.2反证法的分类根据命题结论的否定情况，把反证法分为归谬反证法和穷举反证法.当命题结论的反面只有一种情况时，只要驳倒其反面就可以，这种证法叫做归谬反证法；当命题结论的反面不只有一种情况时，就必须将反面的所有情形一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法叫做穷举反证法.2反证法的科学性及证明步骤2.1反证法的科学性2.1.1反证法

5、的理论依据.反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑的两个基本规律——矛盾律和排中律.所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中，对同一对象的两个矛盾的、对立的判断，不能同时都为真，其中至少有一个是假的.如这个对象，“是偶数”和“是奇数”的两个判断中至少有一个是假的.而所谓“排中律”则是说：对同一个对象，任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一.如要证明“是偶数”，只要证明“不是偶数”不真就够了.因为“是有偶数”和“不是偶数”是对象的两个相矛盾的判断，依据排中律，其中必有一个判断是真的.如能证明“不是偶数”不真，就可以证明“是偶数”为真.2.1.2反证法的可信性.反证法在其证

6、明过程中，根据“矛盾律”，对“原结论”和“否定的原结论”来说，这两个相矛盾的判断不能同时都为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已证明为正确的命题都是真的，所以“否定的原结论”必为假.再根据“排中律”，“原结论”与“否定的原结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一个是真，而“否定的原结论”为假，于是我们得到“原结论”必为真.综上，我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据，通过逻辑推理，得出令人信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应用.反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结

7、论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.2.2反证法的证明步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤：（1）提出反设.反设是运用反证法证题的第一步，也是关键的一步，反设的结论作为下一步“推出矛盾”的一个已知条件.“反设”其意义是：假设所有证明的命题的结论不成立，而结论的反面成立.在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么.当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但当命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定.这时必须认真分析、仔细推敲