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1、浅谈中学数学中的反证法数学与计算机科学学院数学与应用数学105012011138黄义瑜【摘 要】反证法一种间接的数学证明方法，也是一种重要的数学思想.他首先假设某命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.证明的一般步骤为反设、归谬、结论.虽然在中学数学的课本中所占篇目较少，但应用广泛，能锻炼学生的逆向思维.论文中将阐述反证法的概念、证明步骤、思维方式以及适用题型.深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力.【关键词】 反证法 命题 中学数学高考高等数学有个著名的“道旁苦李”的故事：传说，王戎从小就非常
2、聪明.有一天，他和小伙伴们出去游玩，发现路边有几株李树，树上结满了李子，而且看上去一个个都熟透了.小伙伴们一哄而上，摘了尝了之后才发现李子是苦的.只有王戎没动，王戎说：“如果李子不苦的话，早就被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这个故事中王戎从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法.1反证法的由来 反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种.法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.反
3、证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用.欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论， “最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法.2反证法的概念反证法是一种反面的角度思考问题的证明方法，是数学中常用的间接证明方法之一，属于“间接证明”的一类.即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体来说就是，假设命题的结论不成立，在已
4、知条件和“否定命题结论”的新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论矛盾或自相矛盾，从而断定命题结论的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法.3反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”.两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有
5、一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，所以我们得到原结论必为真.因此反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.4反证法的一般步骤4.1反设假设命题所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立.反设是反证法的第一步，也是重要的一步.反设是否准确、全面，将会影响后续的推导.在反设时，主要要学会这两步：1、分清题设和结论.2、对结论实施准确、全面的否定.3、否定结论后，找出其对应的所有情况.在中学数学中，常用的有以下几种情况
6、：类型原结论原结论的否定直接在结论前加“不”或去掉“不”是不是成立不成立等于不等于大于等于不大于等于（小于等于）不能简单地加“不”至多有一个至少有两个至少有一个一个都没有最多有个最少有个最少有个最多有个无限个有限个4.2归谬：由命题的反设和命题的条件出发，引用论据进行推理，推导出与已知条件﹑公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.4.3结论：由所得的矛盾，判断产生矛盾的原因在于反设是假，从而说明反设的结论不成立，则原命题的结论成立.4.3.1由反设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾例1：已知：，，.求证：,,.证明:(1)反设:假设，，不都是正数.(2)归谬:由可知
7、，这三个数中必有两个为负数,一个为正数.不妨设：,,.则由,可得.又,..即.,,...这与已知矛盾.(3)结论：所以假设不成立，因此,,.成立．4.3.2由反设或已知推出的结果与已学公理相矛盾例2:在同一平面内，若,是垂直于直线的两条不同的直线，则直线若,不相交. 证明:（1）反设:假设,相交 （2)归谬:因为,相交，所以从直线外一点（,交点）引两条直线,与垂直，又由平面几何知识可知，从直线外一点不可能引两条不同直线,与垂直，这显然与公理相矛盾. (3)结论:假设不成立.因此若直线与直线同时垂直于直
