反证法在中学数学中的应用

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1、反证法在中学数学中的应用苏州市第十一中学曹文英,.反证法是一种重要的数学方法在中学证法数学教学过程中有着广泛的应用.作为一个证明假设△且刀口不是等腰三角形(假,,.AB<中学生特别是高中生应当掌握好反证法的设命题结论不成立)不妨设AC(命题使用.结论否定方面成立,并以此为条件,则)反证法是从否定命题的结论出发,经过乙ACB<乙通BO.’:BE、CF是角平分线,,,,,推理,得出和已知条件或和其他命题相矛盾.’艺2<艺1作尸口延B刃连结刃弓CG则,=,的结论或在推理过程中得出自相矛盾的结FGBE=OF且四边形BEeF是平行四论.

2、从而达到命题结论正确的数学方法.边形,△C万G是等腰三角形二二乡乙3=乙1,,,:3+5二2十雄235<使用反证法的步骤可归纳为艺匕匕匕乙<乙从而匕1.假设命题的结论不成立,即命题结论匕4=今卜在△CEG中,CE

3、刀且刀己;2艺命题相矛盾或自相矛盾的结论3.确认命题的所有否定方面不能成立,与乙ACB<乙ABO相矛盾(推出自相矛盾的从而肯定命题的结论成立.结论乡且B<且0不.)一成立,反证法在中学数学教学中是一个难点如果AB>AC(命题结论另一否定方面,,,,尽管在初中学习阶段学生已有接触和训练成立并以此为条件)之合艺ACB>乙AB。但在解题.因此在教学各同理可得乙A口B<乙AB口与匕ACB>中仍不善于应用它,,个知识点时要有意识的选择一些适用反证艺ABC相矛盾~合AB>AC不成立由于,,,ABAC均不成立从而=法解题的例子

4、并在解题过程中反复强调使AB,用反证法的步骤,以提高学生使用反证法的AC即假设△ABC不是等腰三角形不成立能力‘下面看些实例:(命题结论的否定方面均不成立).例1如果三角形中有两个角的平分线△ABC是等腰三角形(确认命题的结论成相等,那么这个三角形是等腰三角形..立),:ABC例2△ABO是斜三角形尸A一平面如图△中产八、、,B刀CF是匕ABC遨洲。迁BC试证明点A在平面P刀C上的射影不.,C匕ACB的平分线且可能是△尹召的垂心,B刃=CF要证明证明假设点A在平面PBC上的射影,△且召口是等腰三角O是△pBC的垂心(假设命

5、题的结论不成立,,形只要证明AB=即命题结论的否定方面成立并以此为条,;,件)则一方面由AO土平面pB‘得AO土B尸AC即可我们使用反百..】9,,。求证:,=、一1另一方面因O是垂心故例抛物线李上不__,ZCO1刀P二BP工平面AOC..’,二从而PB上AC又:PA上存在关于直线=对称的两个点,,:平面ABC.’尸A土AO=工二一证明假设抛物线夕1上存在关.’,.2乃C土平面PAB,.:,,、:,ACA方,ABC,夕二二A(二:夕)B(二土即△是R老△于直线对称的两个点:.二,与:“ABC,)则直线AB与直线夕二垂直故直线注

6、B的已知条件△是斜三.”方程必为夕=一。+b的形式因直线g二一‘角形相矛盾(推出与已知条件相矛盾的结论,.(确认命题+“,与抛物线、二92一‘相交于两点‘、)假设不成立专结论的否定方面不成立)点A在平面,.一沈+=,2一,二2十2?一2一2=P刃C上的射影不可能是△二PBC的垂心.(确“则“合即”.认命题的结论成立):,0的必要条件△=4+4(Zb+2)>0得乙>,,例3△ABC中若欲nA<幼nB则乙A。。.。.,3.。~._。_.:,_一乏一、二:必+劣=~2刃十刀=必为锐角.另一育面二⋯2。证明假设艺A不是锐角A必,z,.

7、则乙是一(二+二)+Zb=2+Zb:AB中点.直角或钝角,,兰生浑生即为卜;1+。。因它在,,is((1)如果乙A是直角则nA二1号自相矛盾从而假设不成‘。.。nZ=ss.i}in(280一a)=51且a(inB:.原命题成立,.,由于匕B是锐角:a<匕B即180一乙Aa二,例6数列{}如果有极限那么只有,。,<乙刀⋯匕A+

8、艺刀>]80与三角形内角一个极限..、,和定理相矛盾,.匕A不是钝角由(l)证明假定数列G二存在着两个不同的,.(2;可知/A必为锐角、,,,丁,极限AB且AN时>由A<一a,一c