反证法论文：浅谈反证法及其应用

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1、反证法论文：浅谈反证法及其应用摘要:本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合,本文把反证法的常用场合分为八点,分别是:①命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③命题结论是“至多”“至少”形式;④命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤某些起始命题。⑥难证的逆命题;⑦命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时;⑧直接论证不习惯,不适应。关键词:反证法反设归谬结论矛盾一、什么是反证法1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家

2、亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。设物体a比物体b重得多,则a应比b先落地,现在把a和b捆在一起成为物体a+b。一方面由于a+b比a重,它应比a先落地;另一方面,由于a比b落得快,a、b一起时,b应“拉了a的后腿”,使a下落的速度减慢,所以,a+b应比a先落地,有应比a后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。因此,亚里士多德的断言是错误的。伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用

3、的方法,就是我们现在要介绍的反证法。反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。二、反证法的

4、分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。1、若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。【例】已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。证明:假设m不是偶数,则m为奇数。设m=2k+1(k为整数),所以于是,m2为奇数,

5、这与已知条件m2是偶数矛盾。故m为偶数。2、若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。三、正确作出反设正确作出反设,是使用反证法的一大关键。（1)分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。【例】试证合适xy+yz+zx=1的实数x、y、z必不能满足x+y+z=xyz。分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很难用直接法对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们知道实数x、y、z能满足方程xy+yz+zx=1但

6、不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x、y、z既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz。我们知道实数x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。对于含有多个字母的给定式,在计算时尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。四、如何导出矛盾归谬,是反证法的关键,也是困难所在。初学者往往作出反设以后,就迈不开步子了,不知往哪里走

7、才能找到矛盾。导出矛盾的过程,没有固定的模式,可以套用。要凭借解题者拥有的知识与具备的能力,要善于从反设与条件中,抓住蛛丝马迹,发现矛盾。此外,有两点应该引起我们注意:1、导出矛盾,要从反设出发,否则,推导将成为无源之水,无本之木。2、推理必须严谨。有人以为反证法就可以不讲依据,那是诡辩,只能导致荒谬。一般来说,归谬的情况大致有如下几种:（1）推出与公理相矛盾的结论;（2）推出与已知定理相矛盾的结论;（3）推出与已知定义相矛盾的结论;（4）推出两个相互矛盾的结论;（5）推出与原命题题设条件相矛盾的结论;（6）推出与

8、逆否命题假设相矛盾的结论。五、何时宜用反证法曾有数学家赞扬反证法是“数学家最精良的武器之一”,它在数学证题中确有奇效。应该指出的是,多数题目用直接法证明较为简捷。究竟什么类型的数学题可用这精良的武器去解决呢？对于“若a则b”一类的数学命题,一般都可以用反证法来加以证明,当然没有绝对的标准,但是遇到以下几类问题时不妨试一试。（一)命题结构采取否定形式,结论反面