浅谈反证法的逻辑依据及其运用

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1、浅谈反证法的逻辑依据及其运用王纪兵摘要：反证法是数学屮常见的一种证明方法，它与一般证明方法不同，反证法乂可分为归谬反证法和穷举反证法两种。若命题的结论的反面只有一种情况，只要推翻这一种情况就能肯定结论，这种反证法叫归谬法；若命题的结论的反而不只一种情况，则需耍将反面情况一一推翻才能肯定结论，这种反证法叫穷举法，那么反证法的理论根据是什么？反证法是否就是证明原命题的逆否命题？怎样应用反证法？怎样的命题适合用反证法证明？木文拟就这些问题作点初步探讨。关键词：反证法;逆否命题；逻辑依据1引言关于反证法，牛顿说：“

2、反证法是数学家最精当的武器之一。”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。反证法的核心是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了反证法的关键所在。出现矛盾的方式通常冇：与公理定义孑盾；与已知条件或临时假设孑盾；与显然的事实孑盾；与显然的事实孑盾；门相孑盾等等；法国数学家J•阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致孑盾。”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在止确的逻辑推证卜•导致逻辑孑盾，从而知该相反判断的错谋性，进而知道

3、判断本身的正确性。由此可知，反证法的理论依据可概括成形式逻辑屮的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“孑盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“P真”与“非P真”屮有且只有一个是正确的。由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种貝体形式。2反证法与证逆否命题是不同的从逻辑角度看，命题“若P则q”的否定，是“P且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“P且非q”为假，因此可知“若p则

4、q”为真。像这样证明“若p则q”为真的证明方法，叫做反证法。如上所述，用反证法证明命题“若P则q”，是把“P且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“P且非q”为假，从而得出“若P则q”为真；而证明命题“若P则q”的逆否命题“若非q则非P”，是将非q作为条件，用正确的推理推岀非P成立，根据“若P则q”和“若非q则非P”的等价性得出“若P则q”成立。比较可知，不论从思路方面还是从方法方面來讲，反证法与证逆否命题是有着本质的不同的。因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是非常清楚的了。3运用反证

5、法证题时常见的矛盾形式用反证法证明命题“若P则q”吋，可能出现以下三种情况：⑴导出非P为真，即与原命题的条件矛盾；(2)导出q为真,即与假设“非q为真”矛盾;⑶导出一个恒假命题。例1•如杲G是大于1的整数，I佃所冇不大于d-1的素数都不能整除贝恂是素数。证明：假设Q是合数，i{a=bc(b,cez,b,c>1),由于a不能被大于1且不大于a-1的素数整除，所以b>a,c>a,从而boa,这与假设a=bc矛盾，故a是索数。4运用反证法应注意的问题4.1运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假

6、设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意止确的“否定结论”，这是止确运用反证法的前提,否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。在否定命题的结论Z前，首先耍弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反而非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做岀否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再冋过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。例如：1）结论：至少有一个s是P。错误假设：至少有两个或两个以上s是P,正确假设：没右

7、一个s是P。例如：2）结论：最多有一个S是P。错误假设：最少有一个S是P。止确假设：至少有两个S是P。例如：3）结论：全部S都是P。错误假设：全部的S都不是P。正确假设：存在一个S不是P。现将一些常用词的否定形式列表如下：原结论词假设词原结论词假设词是b日勺、疋存在不存在都是不都是至少有n个至多有n-1个大（小）于不大（小）于至多有一个至少有两个4.2运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾。在这一步骤中，整个推理过程必须准确无误，这样导致的孑盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命题

8、，能够推岀什么样的矛盾结果，事先一般很难估计到，也没有一个机械的标准，有时甚至是捉摸不定的。一般总是在命题的相关领域里考虑。例如，立体儿何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等。4.3对于“若p则q”型的数学命题，一般都能用反证法证明，但难易程度会冇所不同。因此，尽管反证法是-种重要的证明命题的方法，也不能把所有的命题都用反证法来证明。在证明命题时，要首先使用直接证法，若有困难时再使用反证法。5适于应用反证法证明