解读反证法的逻辑基础

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1、维普资讯http://www.cqvip.com'2007年第5期(高中J思想方法山东省聊城大学数学科学学院房元霞我们知道，一个数学命题，可能是正确的，也可能筒B一A，蕴涵等值式是错误的．因此，要想肯定一个命题的正确与否就需要(2)A—B加以证明，但是有些数学命题给出直接证明是很困难筒AVB蕴涵等值式的，而用反证法证明要简捷容易得多．有些命题，至今除筒AVB双重否定律了反证法以外还不能给出其他的证明，甚至有这样的命筒AVBVA幂等律题，它可以用反证法证明，但由于这个命题本身的特点，筒(AAB)VA德摩根律即使在原则上也不

2、可能给出直接的构造性证明．筒(AAB)一A，蕴涵等值式什么是反证法呢?反证法就是证明某个命题时，(3)A—B先假定它的结论的否定成立，然后从这个假定出发，∞AVB蕴涵等值式概括命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与筒AVB双重否定律已知事实(条件、公理、定理、定义、法则、公式等)相矛筒AVBV(C^C)同一律，矛盾律盾的结果．这样就证明了结论的否定不成立，从而间筒(A^B)V(C^C)德摩根律接地肯定了原命题的结论成立．反证法在数学证明中筒(AAB)一(C^C)，蕴涵等值式有广泛的应用，在数学教材中很容易找到例子，我

3、们(4)A—B也能机械地套用反证法的证明步骤，至于反证法的逻筒AVB蕴涵等值式辑原理如何，却不一定能说出子丑寅卯来．∞AVBVB幂等律，双重否定律根据数理逻辑的知识，我们把反证法的逻辑原理筒(A^B)VB德摩根律证明如下：∞(AAB)一B，蕴涵等值式A1^A2^⋯^A一B(5)(A1AA。)一B省(AAAA⋯^A)VB蕴涵等值式∞(A1AA2)VB蕴涵等值式筒(AAAA⋯^A)VB双重否定律筒A1VA2VB德摩根律，双重否甘(A1AA。A⋯^A^B)，德摩根律定律其中A，A，⋯，A为前提，B为结论，筒表示两∞(A1AB)

4、VA2交换律，结合律，德个命题逻辑等值(相等)．摩根律由上式可见，A^A2^⋯^A一B与A1^A∞(A1AB)一Az，蕴涵等值式^⋯^A^B是两个互相矛盾的判断．根据矛盾其中A及A、A为前提，B为结论，C为任意命题．律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假．在A第一种形式：A-~B~：oB一A，是通过证明原^A。^⋯^A^B的假设下，通过规则的逻辑推命题的逆否命题来证明原命题；第二种形式：A—B理，出现了矛盾，故A^A^⋯^A^B为假．又筒(AAB)一A，是把结论的否定作为前提，与已根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假

5、，必有一知条件一起，推出与已知条件相矛盾的结果；第三种真，所以A^A^⋯^A一B为真，即原命题成立．形式：A—B∞(AAB)一(CAC)，是把结论的否下面的五个逻辑等值式更简明地表达了我们在定作为前提，与已知条件一起，推出互相矛盾的两个实际证明中经常采用的几种形式．命题，包括与公理、定理及已知真命题等相矛盾的情(1)A—B形；第四种形式：A—B∞(A人B)VB，是把结论AVB蕴涵等值式的否定作为前提条件，与已知条件一起，推出结论，这㈢AVB双重否定律样与假设结论的否定成立自相矛盾；第五种形式：(ABVA交换律^A)一B∞

6、(AAB)一A，是把结论的否定与命维普资讯http://www.cqvip.com