浅谈反证法 草稿

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1、宁夏师范学院2010届毕业生毕业论文题目：院系：数学与计算机科学学院指导教师：班级：姓名：完成时间：目录1反证法的概念及模式1.1反证法的概念1.2反证法的模式2反证法逻辑依据及种类2.1反证法的逻辑依据2.2反证法的种类3反证法的使用范围3.1否定性命题3.2限定性命题3.3逆命题3.4无穷性命题3.5某些存在性命题3.6全称肯定性命题3.7一些不等量命题的证明3.8基本命题3.9整除性问题4在中学中最常用的反证法证明的题型5注意事项5.1必须正确否定结论5.2必须明确推理特点5.3了解矛盾种类浅谈反证法摘要：本文重点阐述反证法的概念、模

2、式，依据及种类。反证法的使用范围有否定性命题、限定性命题、逆命题、无穷性命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题、整除性问题应用。及在中学中最常用的反证法证明的题型与注意事项关键词；反证法归谬法矛盾假设引言在深山老林里，当看到不认识的水果或植物，没有动物敢接近，且也没有啃食的咬痕，我们就会认为此种植物有毒，这种间接判断的方式，我们就称之为反证法1反证法的概念及模式1.1反证法的概念先提出于结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了于结论相反的假设不能成立，从

3、而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法用框图表示如下:1.2反证法的模式模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。2反证法的逻辑依据及种类2.1反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的。排中律常用公式来表示，意即真或

4、真。其中和表示两个互相矛盾的概念或判断。排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。例如，要证明

5、不是有理数有困难时，只要证明是有理数为假就可以了。2.2反证法的种类运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。反证法所改证的等价命题的条件包含原命题结论的否定（或反面）。若命题的结论的反面只有一种情况，这种反证法称为归谬法；若命题结论的反面多于一种情况，这种反证法称为穷举法。下面分别研究这两种反证法的逻辑依据。3.反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然

6、没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。3.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。

7、3.2限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。例在半径为的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于。证明：每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于，又大圆面积为，则九个小圆应占面积要大于，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于。例已知方程，中至少有一个方程有实数值，求实数的取值范围。分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件的集合的补集即可。证明：假设三个方程都无实根

8、，则有：解得∴所求的范围为.3.3无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题。例求证：是无理数。分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数