特征值对角化

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1、§11.7矩阵的特征值化Ｈ矩阵为对角形矩阵特征值与特征向量化Ｈ矩阵为对角形1工程中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题；而数学中诸如方阵的对角化，求线性变换的不变元素等问题也需要特征值和特征向量的概念．而矩阵的对角化涉及到如何把一个二次型化成对角形，进一步化成标准形的问题，解析几何中的提法是：对二次曲线和二次曲面的一般方程通过一个坐标变换化成标准方程．2说明一、特征值与特征向量而且若x是特征向量，则乘以非零常数后仍是．3按代数基本定理，知对n阶方阵恰有

2、n个特征值（重根按重数计）．特征值有时也叫特征根．44.由特征多项式的定义可知：若n阶方阵的特征值为则有这两条性质都是将一元高次方程的根与系数的关系（即韦达定理）用于特征方程可证的，此处从略．5.相似的矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同　的特征值．按相似矩阵的定义，若矩阵Ｂ与矩阵Ａ相似，则存在可逆矩阵Ｘ，使这是特征多项式的常数项5因此既然相似矩阵有相同的特征多项式，故有我们再次说明了相似矩阵有相同的迹．下面我们谈一下特征值和特征向量的求法．例１　求矩阵的特征值和特征向量．6解矩阵Ａ的特征多项式

3、故Ａ的特征值为特征向量是满足的非零向量．把代入，知特征向量满足方程组解得一组非零解这是对应于特征值的一个特征向量．把代入得方程组解得对应于的一个特征向量7例２解得8解得一个特征向量由这两个例子可以看到，求解矩阵的特征问题是与解方程紧密联系的．我们以几个常见的简单结论暂时将特征问题告一段落．１）若p是矩阵Ａ的特征向量，则kp也是．２）属于不同特征值的特征向量是线性无关的．9二、Ｈ矩阵的对角化本段要讨论的问题是如何把一个矩阵对角化．由相似矩阵知，Ａ与Ｂ相似是指存在可逆矩阵Ｖ，使或说对矩阵Ａ进行相似变

4、换Ｖ变成Ｂ．特别地，我们要讨论的是如何把矩阵Ａ经相似变换变为对角矩阵Ｂ，因为对角矩阵是最简单的矩阵．下面的定理指出了n阶矩阵可对角化的条件及方法．定理１n阶方阵Ａ与对角阵相似的充分必要条件是Ａ有n个线性无关的特征向量．而且是对角阵时，Ｖ的n个列向量就是Ａ的n个线性无关的特征向量．10证明先证必要性．假设Ａ可对角化，即存在可逆阵使（对角阵）由于Ｖ可逆，故其n个列向量线性无关，下面只要说明它们是Ａ的特征向量即可．由可知比较可得由特征值和特征向量的定义，是Ａ的特征值和特征向量．11再证充分性．假设Ａ有

5、n个线性无关的特征向量即有作矩阵则即所以，矩阵Ａ可对角化．证完．定理的一个直接推论是：若Ａ有互不相同的特征值，则必可对角化．12定理不仅指出一个矩阵可对角化的条件，而且直接指出了求相似变换的方法．即求出Ａ的n个线性无关的特征向量，因此对角化问题与特征值问题紧紧连在一起．例３将矩阵对角化．解例１中我们已经求得了Ａ的两个线性无关的特征向量令则实际上最后一步的计算纯属多余，您知道为什么吗？13下面介绍对Ｈ矩阵的对角化问题．为此，先给出几个要用到的性质．性质１Ａ是Ｈ阵，Ｖ是Ｕ矩阵，则是Ｈ阵．Ａ是Ｈ阵，Ｖ

6、是Ｕ矩阵，故所以是Ｈ阵．性质２Ｈ矩阵的特征值是实数．设　是Ｈ矩阵A的特征值，则有非零向量x，使一方面另一方面说明是实数，但是实数所以　是实数．14性质３Ｈ矩阵的属于两个不等特征值的特征向量必正交设Ａ为Ｈ矩阵，则又　　是Ａ的两个不相等的特征值，　　是相应的特征列向量．我们要说明这两个向量垂直．由于则从而但故　　正交．15定理２设Ａ为Ｈ矩阵，则必存在可逆的Ｕ矩阵Ｖ，使其中　为Ａ的特征值为对角线元素的的对角阵．此定理证明较长，我们此处略去．下面我们指出把一个Ｈ矩阵对角化的具体方法．将特征向量正交化;3

7、.将特征向量单位化；4.2.1.５．写出Ｕ矩阵Ｖ，从而可把Ｈ矩阵Ａ对角化．16由于对称矩阵是实的Ｈ矩阵，故上述关于Ｈ阵的性质对对称矩阵来说，都成立．而对称矩阵是实际问题中最常用的．特别地，对称矩阵Ａ可经特殊的Ｕ变换—正交变换Ｖ化为对角矩阵．下面看一例．例对下列实对称矩阵，求出正交矩阵，使为对角阵.17解(1)第一步求的特征值解得18第三步将特征向量正交化解得解得由于　　　是属于Ａ的三个不同特征值的特征向量，故它们必两两正交．19第四步将特征向量单位化令得作则Ｖ是正交矩阵，且由此例看到，把一个矩阵

8、对角化的计算量是较大的．20线性代数介绍到此21