椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

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1、椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）四川省美姑县中学周钰承★关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。★内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希望广大读者喜欢。★目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算二、两个高精度的椭圆周长初等公式三、椭圆周长公式集锦与评价一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是

2、椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：，参数方程是：函数图像为：若某条光滑曲线，能用参数方程表示：，，该曲线长度可表示为：故椭圆周长为：其中是椭圆的离心率。下面用泰勒公式展开先由……令K=1/2可得：令可得：所以：这个式子可以化简。因为：所以：这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实际计算时却只能取精确

3、值（谁能长生不老？）。其中为长半轴，为椭圆离心率。……………………（1）根据项名达公式（1），可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布表1：PrivateSubForm_Click()a=1:’长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值b=0.15:’短半轴长度，应不大于a，否则两者互换e=sqr(1-b*b/a/a):’椭圆离心率k0=0.25*e^2:’（1）式括号中的第二项s=1-k0:’（1）式括号中的前二项forI=2to1000000:’级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟

4、k=k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e:’(1)式括号中的某一项s=s–k:’将各项累加到s中去，最终就得到(1)式括号中的值k0=k:’为计算下一项，将前一项结果赋给k0nextI:’循环print2*3.1415926535*a*s:’打印或显示计算结果EndSub椭圆周长10.004.0000000000…10.014.0010983297…10.104.0639741801…10.254.2892108875…10.504.8442241100…1

5、0.755.5258730400…10.905.9731604325…10.996.2518088479…11.006.2831853070…表1.椭圆周长真值的分布项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度要求计算椭圆周长。为了方便，我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式。为了估计误差，我们设，则周钰承标准公式为：…………（2）这个公式中，主干为，我们可以把………………………………（3）称为误差多项式。

6、假如要求我们误差率低于，我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设，则误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：因为（注意）：所以只须：…………………………………………（4）公式（4）称为周钰承标准公式（2）的误差公式。取满足不等式（4）的最小整数，为此，我们只需要一个带有函数的学生计算器便可以根据精确度要求，知道我们应该计算到第几项，计算所得的值在给定误差率的情况下是准确的。注意：计算到误差多项式第n项，就是周钰承标准公式（2）括号中算到2n次方项；若n为负数或者小于2

7、，就算到误差多项式（3）第2项，即公式（2）中括号里的4次方项。如n>-1.86745.则周钰承标准公式中，中括号里应该算到4次方项。因为误差公式证明中n大于或等于2是前提条件。二、两个高精度的椭圆周长初等公式如果利用周钰承标准公式来计算椭圆周长，通常只需要级数前两三项就可以达到相当高的精确度。但当时，算得:,即用到误差多项式第58项即116次方项，误差才能保证小于万分之一。为此，我们可以根据周钰承标准公式，构建一个新的函数模型，用以解决甚至更小时的计算问题。设，……………则我们改造函数模型，考虑到函

8、数的表达式具有三个重要特征：1.各项均含有因式；2.当时，，椭圆周长趋近于圆周长，此时；3.当时，，椭圆周长趋近两倍长轴长，即，此时。因此，我们构建函数模型：…………………………………………………………（5）（5）式中是自变量，，，为待定系数。为了拟合函数，我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标：，，依次代入函数（5），得到三个关于的一次方程。我们可以设计一个算法，或者用计算器解这个一次方程组