椭圆周长公式的推导、证实、考验、评价与应用

《椭圆周长公式的推导、证实、考验、评价与应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用三探椭圆周长的计算(终结篇)四川省美姑县中学周铉承★关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。★内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式,木文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希望广大读者喜欢。★目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算二、两个高精度的椭圆周长初等公式三、椭圆周长公式集锦与评价一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭関，但其周长不能准确的计算出來。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分

2、的级数形式表示。下而对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。?2尢_y1在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是:—+=l,a>0,b>0.CT参数方程是：x=acos=bsin&.(()<3<2兀)函数图像为：若某条光滑曲线，能用参数方程表示:x=X(t)fy=r(r)a

3、二芈二总，2!3!令K二1/2可得：严十兰+社-旷（2-3灯2225!令兀=-e2cos20可得：Ji—护cos?e=i_e2cos23200-工n=2所以:C皿弘主也护-3）!宀讥2n=2=44f2e2減co2cos2阳&-工n=225!笔誉f宀这个式子可以化简。因为：pcos"刃&=—X—X—X」）246_（2n-1）!!7i—X—25!22n-1x71X—2n所以:L-4a<、71X—丿71e2(122GO-z71=2(1•3•5…(2/?一3乂2〃一71X?(2"就(2兀一1)2-1-Zn=l2/i-1这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实际计算

4、时却只能取精确值(谁能长生不老？)o2竺T1-(2丿e4~3e6~5(1357)—•—(2468丿Jq2°]为椭圆离心率。(1)仃・3・5....(2〃一1)、、2•4•6••--2/1丿((2/?-1)!!、2戶_[(2小！>2n-l8=2jra<1-工?J=1根据项名达公式(1)，可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布表1:PrivateSubForm_Click()a=1:'长半轴长度。a.b可根据实际问题改为其它值b=0.15:,短半轴长度，应不大于a,否则两者互换e=sqr(l-b*b/a/a)kO=0.25*eA2s=1-kO，椭圆离心率'(1)式括号中的第

5、二项'(1)式括号中的前二项for1=2to1000000级数算到百力项，一•般计算机只需儿秒钟k=kO*(2*I-1)A2/(2*I)A2*(2*I-3)/(2*I-1)*c*c:,(1)式括号中的某一项s=s-k:'将各项累加到s中去，最终就得到(1)式括号中的值k0=k:'为计算下一项，将前一项结果赋给kOnextI:'循环print2*3.1415926535*a*sf打印或显示计算结果EndSubah椭圆周长10.004.0000000000-10.014.0010983297-10」04.0639741801…10.254.2892108875-10.504.84422411

6、00-10.755.5258730400-10.905.9731604325…10.996.2518088479-11.006.2831853070-表1•椭圆周长真值的分布项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度耍求计算椭圆周长。为了方便，我们称下面这个公式为周铉承椭圆周长标准公式。C=兀•(a+b)1(1>3Yl(a-b>6+<5!P2(7、'a-b<2•4•6；(a+b丿<8!!>(a+b丿2・4丿a+b)+•a—b为了估计谋差，我们设2=乞丄，则周铉承标准公式为:a+bC=兀•(a+

7、b)1+A2+24+(1・32A6+(2)这个公式屮，主干为龙・（a+b）,我们可以把才+26+理、(3)称为谋差多项式。假如要求我们谋差率低于5,我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设n>2,则误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式：z、2(2〃-1)!!］刊2I⑵7+2)!!丿J⑵2+1)!!丫严I⑵7+4)!!丿z、2*(⑵2+3)!!］才”+6(⑵2+6)!!丿(1、2(1、2(1、<1