如何推导椭圆周长初等公式.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途如何推导椭圆周长初等公式四川省美姑县中学周钰承★关键词：函数模型,椭圆周长。★内容提要：如何推导出一个简单而又精确椭圆周长公式？利用信息技术,搜集准确的数据；建立恰当的函数模型并求解；对函数模型进行检验、评价和应用。有一个困惑笔者多年的现象：一些小学生常常追问老师，椭圆周长是怎样计算的？而到了高中,他们已经学习了椭圆的方程式，却再也没有一个学生问到这个问题.是多年的应试教育,吞噬了他们的求知欲吗？兴趣是最好的老师,当前的信息技术足以让高中学生重回小学时代。利用信息技术构建函数解决实际问题，通常需要三个步骤：搜集数据代表;构建函数模型并求

2、解;检验、评价与应用。第一步，搜集数据代表.椭圆的标准方程是。其中表示椭圆的长半轴长及短半轴长.在因特网搜索“椭圆周长”，可以很快找到椭圆积分的表达式.但由于该公式中的被积函数的原函数不是初等函数，所以迄今为止，尚没有准确的椭圆周长的初等函数公式。打开不同的网页,我们可以找到椭圆周长著名的项名达公式:（1）其中e为离心率。根据(1）式，可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到表1：PrivateSubForm_Click（)a=1：’长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值b=0.15:'短半轴长度，应不大于a，否则两者互换e=sqr（1-b＊b/a/a）:

3、'椭圆离心率k0=0.25*e^2:’（1）式括号中的第二项s=1—k0：’（1）式括号中的前二项forI=2to1000000：’级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟k=k0＊(2*I—1）^2/（2＊I）^2＊（2*I-3）/(2＊I-1）＊e*e：'（1）式括号中的某一项s=s–k：’将各项累加到s中去,最终就得到(1）式括号中的值k0=k：’为计算下一项，将前一项结果赋给k0nextI:’循环print2*3。1415926535＊a*s：'打印或显示计算结果EndSub椭圆周长10.004.0000000000…个人收集整理勿做商业用途10.014.

4、0010983297…10.104.0639741801…10。254。2892108875…10。504。8442241100…10。755。5258730400…10.905.9731604325…10。996。2518088479…11。006。2831853070…表1第二步，构建函数模型并求解。项名达公式虽然易于设计程序，但不利于函数建模。另一个级数公式更容易被高中学生理解:……]（2）其中。如果利用这个公式来计算椭圆周长，当与的值比较接近时，只需要级数前两项就可以达到相当高的准确率，但当与的取值相差较大时，即使是用到级数第十项，误差还相当大。我们可

5、以根据这个级数公式,构建一个新的函数模型。在公式（2）中，设：…………………………(3）则(2)变形为：…………………………………………………（4）我们改造函数模型，考虑到函数(3)具有三个重要特征:1.各项均含有因式;2.当时，，椭圆周长趋近于圆周长，此时；3.当时，，椭圆周长趋近两倍长轴长，即,此时。因此，我们构建函数模型:…………………………………………………………(5）（5）式中是自变量，，，为待定系数.为了使函数(5）拟合函数(3），我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0。25，b=0.50,b=0。75那三行数据，把三个点的坐标：个人收集整理勿做

6、商业用途，，依次代入函数（5），得到三个关于的一次方程。我们可以设计一个算法，或者用计算器解这个一次方程组,得到的比例关系。为了帮助记忆和增加公式的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：。把上述值依次代入函数（5）、（4），得：,再把代入并化简得到椭圆周长近似公式：,……………………………………(6）第三步，检验、评价与应用。笔者取3。141592654验证这个公式，得到表2。表2中“误差”的计算方法是用函数值与椭圆周长真值的差，除以椭圆周长真值所得的商.公式（6）C椭圆周长真值误差10.003。9924406644。0000000000…-0。001910

7、.013.9953903844。0010983297…—0.001410。104.0631510074.0639741801…-0。0002010.254。2891586244。2892108875…-0.00001210。504。8442236724。8442241100…—0.0000000910。755.5258730405.5258730400…-0.000000000110。905.9731604335.9731604325…—0。000000000010。996。2518088486.2518088479…-0。000000000011。006。2

8、831853076.283185307