如何推导椭圆周长初等公式

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1、如何推导椭圆周长初等公式四川省美姑县中学周钰承★关键词：函数模型，椭圆周长。★内容提要：如何推导出一个简单而又精确椭圆周长公式？利用信息技术，搜集准确的数据；建立恰当的函数模型并求解；对函数模型进行检验、评价和应用。有一个困惑笔者多年的现象：一些小学生常常追问老师，椭圆周长是怎样计算的？而到了高中，他们已经学习了椭圆的方程式，却再也没有一个学生问到这个问题。是多年的应试教育，吞噬了他们的求知欲吗？兴趣是最好的老师，当前的信息技术足以让高中学生重回小学时代。利用信息技术构建函数解决实际问题，通常需要三个步骤：搜集数据代表；构建函数模型并求解

2、；检验、评价与应用。第一步，搜集数据代表。椭圆的标准方程是。其中表示椭圆的长半轴长及短半轴长。在因特网搜索“椭圆周长”，可以很快找到椭圆积分的表达式。但由于该公式中的被积函数的原函数不是初等函数，所以迄今为止，尚没有准确的椭圆周长的初等函数公式。打开不同的网页，我们可以找到椭圆周长著名的项名达公式：（1）其中e为离心率。根据（1）式，可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到表1：PrivateSubForm_Click()a=1:’长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值b=0.15:’短半轴长度，应不大于a，否则两者互换e=sqr(1

3、-b*b/a/a):’椭圆离心率k0=0.25*e^2:’（1）式括号中的第二项s=1-k0:’（1）式括号中的前二项forI=2to1000000:’级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟k=k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e:’(1)式括号中的某一项s=s–k:’将各项累加到s中去，最终就得到(1)式括号中的值k0=k:’为计算下一项，将前一项结果赋给k0nextI:’循环print2*3.1415926535*a*s:’打印或显示计算结果EndSub椭圆周长10.004.000000000

4、0…10.014.0010983297…10.104.0639741801…10.254.2892108875…10.504.8442241100…10.755.5258730400…10.905.9731604325…10.996.2518088479…11.006.2831853070…表1第二步，构建函数模型并求解。项名达公式虽然易于设计程序，但不利于函数建模。另一个级数公式更容易被高中学生理解：……]（2）其中。如果利用这个公式来计算椭圆周长，当与的值比较接近时，只需要级数前两项就可以达到相当高的准确率，但当与的取值相差较大时，即

5、使是用到级数第十项，误差还相当大。我们可以根据这个级数公式，构建一个新的函数模型。在公式（2）中，设：…………………………（3）则（2）变形为：…………………………………………………（4）我们改造函数模型，考虑到函数（3）具有三个重要特征：1.各项均含有因式；2.当时，，椭圆周长趋近于圆周长，此时；3.当时，，椭圆周长趋近两倍长轴长，即，此时。因此，我们构建函数模型：…………………………………………………………（5）（5）式中是自变量，，，为待定系数。为了使函数（5）拟合函数（3），我们取表1中最具有代表性的数据。用b=0.25,b=0.

6、50,b=0.75那三行数据，把三个点的坐标：，，依次代入函数（5），得到三个关于的一次方程。我们可以设计一个算法，或者用计算器解这个一次方程组，得到的比例关系。为了帮助记忆和增加公式的美感，我们将它们近似地化为最简整数比为：。把上述值依次代入函数（5）、（4），得：，再把代入并化简得到椭圆周长近似公式：，……………………………………（6）第三步，检验、评价与应用。笔者取3.141592654验证这个公式，得到表2。表2中“误差”的计算方法是用函数值与椭圆周长真值的差，除以椭圆周长真值所得的商。公式（6）C椭圆周长真值误差10.003.9

7、924406644.0000000000…-0.001910.013.9953903844.0010983297…-0.001410.104.0631510074.0639741801…-0.0002010.254.2891586244.2892108875…-0.00001210.504.8442236724.8442241100…-0.0000000910.755.5258730405.5258730400…-0.000000000110.905.9731604335.9731604325…-0.000000000010.996.25

8、18088486.2518088479…-0.000000000011.006.2831853076.2831853070…0.00000000000表2接下来处理表2中特别是当时的误差。根据