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1、精品文档你我共享第3章左半张量积与矩阵映射本章主要研究矩阵左半张量积的性质.首先证明几乎所有普通矩阵乘法的重要性质都可以推广到左半张量积.接着利用左半张量积研究矩阵的线性和多项式映射.再根据矩阵映射的性质得出左半张量积的一些新性质.最后讨论普通矩阵乘法、张量积和左半张量积之间的转化.3.1基本性质本章讨论左半张量积的一些基本性质.不难看出，当普通矩阵乘法推广到左半张量积时，几乎所有的乘法性质都保留下来了.左半张量积的生命力正在于此命题3.1.1设A和B是两个具有合适维数的矩阵，则（A汉Bt汉At.（3.1.1）证明通过简单计算可知，对
2、于具有合适维数的行向量X和列向量丫，有X,丫十［Yt,Xt；「.（3.1.2）考虑AAb.记A的第i行为A，B的第j列为Bj，则显然AaB的第i,j块就是知识改变命运精品文档你我共享此时，BTaA的第j,i块是冋，由式（3.1.2）可以看出，AaB的第i,j块的转置就是BTaAt的第j,i块，于是命题得证.下面的命题说明两个矩阵的左半张量积可以很容易地用它们的普通积加上张量积来实现.命题3.1.2（1）如果AMmnp,BMpq,则AaB=AB：In•（3.1.3）（2）如果AMmnBMnpq,则AaB=AIpB.（3.1.4）证明根据
3、命题2.3.2，不失一般性，对于矩阵A和B，我们可以假设m=q=1,则可以通过直接计算验证等式成立.命题3.1.2是很基本的理论，半张量积的很多性质都可以由它得到.下面的命题可以认为是命题3.1.2的直接结论.命题3.1.3给定两个具有合适维数的方阵A和B，使得AaB有定义，则（1）AaB和BaA有相同的A忖B~BA,特征函数；（2）tr（A忖B^tr（BA）;（3）如果A或B可逆，则这里，“〜”表示矩阵相似；（4）如果A和B都是上三角阵（下三角阵、对角阵、正交阵），知识改变命运精品文档你我共享则AaB也同样是上三角阵（下三角阵、对角
4、阵、正交阵）；（5）如果A和B都可逆，则AaB也可逆，并且知识改变命运精品文档你我共享AaB-B-1aA1.（3.1.5）（6）如果AYtB,则detAaBi；=[detAdetB.（3.1.6）如果A>tB,则detAaBi；=detAdetB.（3.1.7）证明利用式（3.1.3）和式（3.1.4）将左半张量积转化为矩阵普通乘法和张量积的形式，很容易就得到上面的性质.我们证明（5）作为示例•设AYtB，则AaB'二AB：lt1二B-It'二B-^It二B^aA^1.下面的命题表明换位矩阵也可以交换块结构数组的各块的位命题3.1.4
5、（1）设A=[A11,
6、
7、
8、,An,lll,Am1川,Amn]是每个分块都有相同维数的矩阵，它是由指标订,厂按照索引AWIdi,j;m,n排列的，则n,mILA11,"LAmi」"，An，"I，Amn是按照索引Idj,i;n,m排列的.（2）设B二colB11JII,B1n,川,Bm1,
9、
10、
11、,Bmn是由具有相同维数的分块排成一列的矩阵，由[i,j?按照索引Idi,j;m,n排列，则知识改变命运精品文档你我共享Wm,n]B二cd（Bii,11LBmi,1II,Bin」lI，Bmn）是按照索引Idj,i;n,m排列的.证明如果州是列向量
12、或者Bij是行向量，由命题1.5.3可直接得到结果（见习题1.13）.利用命题3.1.2可以看出，根据左半张量积，换位矩阵也可以实现分块的重新排列.一个矩阵和单位阵I的左半张量积有一些特殊的性质.粗略地说，当I的大小小于或等于矩阵M的大小（这里，大小指的是行数或列数，分别对应于I左乘或右乘M时，它就是一个单位阵.当I的大小大于M的大小时，它将会扩大M.命题3.1.5（1）设M是一个mpn矩阵，则MaIn=M.（3.1.8）（2）设M是一个mn矩阵，则Malpn二M：Ip.（3.1.9）（3）设M是一个pmn矩阵，则IpaM=M.（3.
13、1.10）（4）设M是一个mn矩阵，则知识改变命运精品文档你我共享lpmaM=M：lp.（3.1.11）证明所有的等式都可以利用命题3.1.2直接推导出来（我们将具体的验证留给读者）.下面的命题说明左半张量积可以用来将一些有关矩阵的线性映射表示成它们的展开式的线性映射.在下一节里，我们将会讨论另一种表示.命题3.1.6设AMmnXMnq,YMpm，则VrAX二AaVrX,（3.1.12）VcYA=ATaVcY.（3.1.13）证明对于式（3.1.12），令C=AX,并且记A的第VcYA=VrAtYt二At忖VrYt二A乂Y.i行为Ai
14、.根据命题2.3.2，等式右边的第i块就是AiaVr（X）=｛比旳川l/qMLXnwHIXql）1JaikXk1iT=1:=C）.n£aikXkq尸一于是，式（3.1.12）成立.再来证明式（3.1.13），对式（3.2
