牛顿—莱布尼茨公式一种证明方法

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1、牛顿—莱布尼茨公式一种证明方法　　摘要：教科书中牛顿-莱布尼茨公式多是借助积分上限函数证明的，本文利用微分中值定理和定积分的定义给出了牛顿-莱布尼茨公式的一种证明方法，并作出了相应的几何解释，在该证明方法的几何解释中揭示了微分中值定理和积分中值定理的一致性。关键词：牛顿-莱布尼茨公式；微分中值定理；积分中值定理；定积分中图分类号：O172文献标识码：A1基本概念定义1[1]：设函数在区间上有定义.用分点将区间任意分成个小区间，小区间的长度为，记，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式.若当时，上总趋于确定的极限，则称此极限为

2、函数在区间的定积分，记作.即=，此时称函数在是可积.引理1[2]：设函数在闭区间内连续，在开区间内可导，则至少存在一点，成立等式.定理1[3]（牛顿-莱布尼茨公式）：如果函数在内连续，是在上的一个原函数，则，.2利用微分中值定理和定积分定义证明定理1（牛顿-莱布尼茨公式）3（1）数学证明证明：因为是在上的一个原函数，故在内可导，且.因为在内连续，在内可导，所以在内满足引理1的条件.用分点将区间任意分成个小区间，小区间的长度记为，在每个小区间上，函数均满足微分中值定理的条件，故至少存在，使得等式成立，即：（）成立.将各个小区

3、间内的上述等式左右两边分别相加，可以得到：即………⑤式，即令，⑤式两边分别取极限得：………①式⑤式的左边是常数，极限显然存在，即：………②式因为在连续，故在上可积，所以和式极限存在，由定积分的定义，在上的定积分存在，即………③式这里需要说明的是由定积分定义可知积分值与点在小区间中的取法无关，故③式中将定积分定义中的任意点取作由微分中值定理得到的定点.由①②③式可得：.（2）证明方法的几何解释：如图1设曲边梯形是由连续曲线（），直线与轴围成.用分点将区间任意分成个小区间小区间的长度记为.过每个分点作垂直于轴的直线段，将曲边梯

4、形分成3小曲边梯形，设小曲边梯形面积为，令，由定积分的几何意义可知=.在每个小区间取微分中值公式，中的一个定点，以为长，以小区间的长度为宽，做小矩形，设小矩形面积为，令.易知=，=.微分中值公式即，由积分第一中值定理可知，如图2总可找到一个适当的点使小曲边梯形面积恰好等有小矩形面积为即=，所以，即.当分割无限加细，分点无限增多，即时，如图3仍然成立，即.3结束语本文利用微分中值定理和定积分的定义给出了牛顿-莱布尼茨公式的一种证明方法，在对该证明方法的几何解释中揭示了微分中值定理和积分中值定理的一致性.参考文献[1]华东师范

5、大学数学系.数学分析（第二版上册）[M].北京：高等教育出版社，1997.[2]刘浩荣，郭景德等.高等数学（第四版上册）[M].上海：同济大学出版社，2009.[3]沈文国，张豫冈等.微积分[M].兰州：兰州大学出版社，2005.作者简介：张豫冈（1978—），男，河南洛阳人，兰州工业学院基础学科部，讲师，硕士。研究方向：环模理论。3