牛顿莱布尼茨公式

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1、…………………………装………………………订………………………线…………………………教学过程1、复习旧知识，引入课题（1）复习：定积分的概念及几何意义原函数的概念导数的定义（2）课题引入：从上节的例题和习题中可以看到利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，到出一种计算定积分的简便有效的方法—牛顿-莱布尼茨公式。2、讲解新课2.1定积分与不定积分的联系若质点以速度作变速直线运动，由定积分的定义，质点从时刻到所经过的路程为。另一方面，质点从某时刻到时刻经过的路程记为，则，于是注意到路程函

2、数是速度函数的原函数，因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下面要介绍的牛顿-莱布尼茨公式。2.2牛顿-莱布尼茨公式定理：若函数在上连续，且存在原函数,即，，则在上可积，且…………………………装………………………订………………………线…………………………（1）则上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式，它也常写成证明：由定积分定义，任给，要证明存在，当时，有下面证明满足如此要求的确实是存在的。事实上，对于的任一分割，在每个小区间上对使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使得（2）因为在上连续，从而一致连续，所以对上述，存在，当且时有于是，当时

3、，任取便有，这就证得…………………………装………………………订………………………线…………………………所以在上可积，且有公式（1）成立。公式使用说明：（1）在应用公式求时，的原函数必须是初等函数，否则使用公式求失效。即的原函数可由求出。（2）定理的条件还可以适当减弱，如：1）对的要求可减弱为：在上连续，在内可导，且，不影响定理的证明。2）对的要求可减弱为：在上可积（不一定连续），这时公式（2）仍成立。2.3例题讲解例1利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分（1）（为正整数）（2）（3）（4）…………………………装………………………订………………………

4、线…………………………（5）解：其中（1）—（3）即为上节的例题和习题，现在用牛顿-莱布尼茨公式来计算就十分方便了。（1）（2）（3）（4）（5）先用不定积分法求出的任一原函数，然后完成定积分计算：例2利用定积分求极限：解：把极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分。为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和（这里所取得是等分分割，），所以…………………………装………………………订………………………线…………………………当然，也可把J看作在上定积分，同样有注意：这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为某个函数在某一区间

5、上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算的值。3、课堂小结微积分基本公式：若函数在上连续，且存在原函数,即，，则在上可积，且4、课后作业习题4-3…………………………装………………………订………………………线……………………………………………………装………………………订………………………线……………………………………………………装………………………订………………………线……………………………………………………装………………………订………………………线……………………………………………………装………………………订………………………线……………

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