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《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积同步课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、6.2.4向量的数量积必备知识·自主学习1.向量的夹角(1)定义:已知两个_____向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则______=θ____________叫做向量a与b的夹角(如图所示).非零∠AOB(0≤θ≤π)(2)三种特殊情况:同向反向垂直a⊥b【思考】(1)等边△ABC中,向量,所成的角是60°吗?提示:向量,所成的角是120°.(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和2.平面向量的数量积(1)定义
2、:非零
3、a
4、
5、b
6、cosθ
7、a
8、
9、b
10、cosθ0(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.3.投影与投影向量(1)变换:(2)结论:称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.(3)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为_________.
11、a
12、cosθe4.向量数量积的性质(1)条
13、件:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量.(2)性质:①a·e=e·a=__________.②a⊥b⇔_______.③当a与b同向时,a·b=_______;当a与b反向时,a·b=________.特别地,a·a=____或____=.④
14、a·b
15、≤_______.
16、a
17、cosθa·b=0
18、a
19、
20、b
21、-
22、a
23、
24、b
25、
26、a
27、2
28、a
29、
30、a
31、
32、b
33、5.向量数量积的运算律(1)a·b=___.(2)(λa)·b=λ(a·b)=_________.(3)(a+b)·c=______
34、___.b·aa·(λb)a·c+b·c【思考】(1)对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗?提示:不一定成立,因为若(a·b)·c≠0,其方向与c相同或相反,而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定相同,故该等式不一定成立.(2)若a·b=a·c(a≠0),则b=c一定成立吗?提示:不一定成立.在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),则a·(b-c)=0(a≠0),于是有b=c或a⊥(b-c).因此,由a·b=a·c(a≠0)不一定能得到b=
35、c.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)向量a,b的数量积也可记作ab或a×b.()(2)对于向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0.()(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角.()(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于
36、acosθ
37、(θ是a与b的夹角),且与b共线的一个向量.()提示:(1)×.向量a,b的数量积记作a·b.(2)×.a·b=0,还可能有a⊥b.(3)×.当向量a与b同向时,a·b>0,但是此时a和b的夹角为0°,不是锐角.(4)√.由投影向量的概念可
38、知此说法正确.2.(教材二次开发:练习改编)若向量a,b满足
39、a
40、=3,
41、b
42、=2,a与b的夹角为30°,则a·b等于()A.B.C.2D.3【解析】选D.当a与b的夹角为30°时,a·b=
43、a
44、
45、b
46、cos30°=3×2×=3.3.已知e为一单位向量,a与e之间的夹角是120°,而a在e方向上的投影向量的模为2,则
47、a
48、=.【解析】因为
49、
50、a
51、·cos120°e
52、=2,所以
53、a
54、=2,所以
55、a
56、=4.答案:4关键能力·合作学习类型一 向量数量积和投影向量(数学运算)【题组训练】1.(2020·昆明高
57、一检测)在△ABC中,∠A=60°,
58、
59、=2,
60、
61、=1,则·的值为()A.-1B.-C.D.12.已知等边△ABC的边长为2,则向量在向量方向上的投影向量为()A.-B.C.2D.23.已知向量a与b的夹角θ为120°,且
62、a
63、=4,
64、b
65、=2,求:(1)a·b;(2)(a+b)·(a-2b).【解析】1.选A.因为在△ABC中,∠A=60°,所以与的夹角为120°,由数量积的定义可得·=
66、
67、·
68、
69、cos120°=2×1×（-）=-1.2.选A.在等边△ABC中,因为∠A=60°,所以向量在向量方向上
70、的投影向量为,所以向量在向量方向上的投影向量为-.3.(1)由已知得a·b=
71、a
72、
73、b
74、cosθ=4×2×cos120°=-4.(2)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.【解题策略】1.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.2.求投影向量的方法(1)
