工程计算7矩阵特征值与特征向量.ppt

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1、7求矩阵特征值与特征向量7.1幂法与反幂法7.2Jacobi方法7.3QR方法2021/8/2227.1幂法与反幂法在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。矩阵的最小特征值在工程中有重要意义。n阶方阵A的n个特征值就是其特征方程的非零解。的n个根，A属于特征值的特征向量x是线性方程组2021/8/2237.1幂法与反幂法例1设矩阵幂法的基本思想是：先任取非零初始向量x0，然后作迭代序列xk+1=Axkk=1，2，…两个特征值为

2、取初始向量x0=(1，0)T，计算向量序列xk+1=Axkk=1，2，…2021/8/2247.1幂法与反幂法kx1(k)x2(k)01231151302414kx1(k)x2(k)45674112136510934012236410942021/8/2257.1幂法与反幂法设矩阵A的几个特征值按模的大小排列如下其相应特征向量为任取初始向量2021/8/2267.1幂法与反幂法分三种情况讨论1.1为实根，且

3、1

4、>

5、2

6、当a1≠0，k充分大时，有2.1=2为实根，且

7、2

8、>

9、3

10、，当a1，a

11、2≠0，k充分大时，有2021/8/2277.1幂法与反幂法2021/8/2287.1幂法与反幂法3k充分大时，有2021/8/2297.1幂法与反幂法令用最小二乘法解,求出p、q，然后再解一元二次方程得到的两个根便是1,2的近似值。再由2021/8/22107.1幂法与反幂法综上所述，可得2021/8/22117.1幂法与反幂法可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪种情况若迭代向各分量单调变化，且有关系式xk+1=cxk属于第1种情况若迭代向量分量变化不单调，但有关系式xk+2=cxk则属于第2种

12、情况若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式则属于第3种情况2021/8/22127.1幂法与反幂法时，按模最大特征值为正，故计算时s取时，s取2021/8/22137.1幂法与反幂法两端同乘以A，得2021/8/22147.1幂法与反幂法因为前两式两端分别取范数后，代入上式得当时，当k充分大时，mk就是按模最大的特征值

13、1

14、的近似值2021/8/22157.1幂法与反幂法另一方面，有2021/8/22167.1幂法与反幂法说明归一化向量序列{yk}收敛于按模最大的特征值所对应的特征向量。因此，当k充分大时

15、，{yk}就是特征向量{u1}的近似值2021/8/22177.1幂法与反幂法能否按此方法求出次大特征值和特征向量限制：设

16、1

17、>

18、2

19、>

20、3

21、≥…,在求出1，{u1}条件下2021/8/22187.2Jacobi方法其中，D是对角矩阵，其主对角线元素λj(j=1，2，…，n)是矩阵A的特征值，而正交矩阵U的第j列就是A的属于λj的特征向量(j=1，2，…，n)。Jacobi方法是用于计算实对称矩阵的全部特征值及对应特征向量的一种变换方法。Jacobi方法的基本思想是，通过一组平面旋转变换（正交相似

22、变换）将对称矩阵A化为对角矩阵，进而求出其全部特征值。由代数学知识，对于一个实对称矩阵A=(aij)nn，一定存在正交矩阵UUTAU=D求实对称矩阵A的特征值问题等于寻找正交矩阵U，使UTAU=D为对角阵2021/8/22197.2Jacobi方法有实对称矩阵A=(aij)n×n，它的一对非主对角线元素apq=aqp(p≠q)不为零。取nn的正交矩阵2021/8/22207.2Jacobi方法Upq是n维空间中的二维坐标旋转变换矩阵。设x∈Rn，则Upqx相当于将坐标轴oxp和oxq在xp、xq所在平面

23、旋转了一个角度，其他坐标轴保持不变，故称Upq为平面旋转矩阵。用Upq对A作正交相似变换，得到A1=UTpqAUpq=(a(1)ij)nna(1)pp=appcos2+aqqsin2+2apqcossina(1)qq=appsin2+aqqcos2+2apqcossina(1)pi=a(1)ip=apicos+aqisina(1)qi=a(1)iq=apisin+aqicosa(1)ij=a(1)ji=aija(1)pq=a(1)qp=0.5(aqqapp)sin2+2ap

24、qcos2(i，j≠p，q)2021/8/22217.2Jacobi方法可见，与矩阵A相比，矩阵A1的第p行、第p列和第q行、第q列的元素发生了变化，其余元素不变。当取满足关系式可以得到a(1)pq=a(1)qp=0，也就是说，用平面旋转变换矩阵Upq对A进行正交相似变换，可以将A的两个非主对角线元素apq和aqp化为零2021/8/22227.2Jacobi方法求实对称矩阵A的特征值和特征向量是一个迭代过程