(new)第三章-第2讲-厄米算符的本征值与本征函数.ppt

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1、光子学基础物理科学技术学院丁岚1第三章第2讲厄米算符的本征值与本征函数不确定度关系严格证明狄拉克符号第2讲提纲厄米算符回顾再论统计诠释厄米算符的本征值与本征函数不确定度关系的严格证明狄拉克符号例题2一、厄米算符回顾31、转置算符:2、共轭算符3、厄米共轭算符,则的共轭转置算符称为的厄米共轭算符记为:即一、厄米算符回顾44、厄米算符5、厄米算符的平均值定理：厄米算符的平均值为实数。逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符一、厄米算符回顾5推论2：厄米算符平方的平均值大于等于零推论1：量子力学中，力学量用算符表示。由于力学量是实验上可测量，这就要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算

2、符必须是厄米算符。二、再论统计诠释6统计诠释若粒子处于量子态，则表示粒子出现在点附近的概率。若测量该粒子的力学量时，一般来说，可能出现各种不同的结果，各有一定的概率。问题：1、是否可以确定“各种不同的结果”？（即给出测量值的样本空间。）2、是否可以确定“不同结果的概率”？（即给出测量值的概率分布。）三、厄米算符的本征值与本征函数71、本征函数（本征态）和本征值（1）处于量子态的粒子，对其测量力学量，可能出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋于一个确定值，即平均值（期望）：，每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定义为：因为是厄米算符，必为实数，因此也是厄米算符根据前述的推论2

3、：三、厄米算符的本征值与本征函数81、本征函数（本征态）和本征值（2）若，涨落为零，其物理含义为：测量所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量所得结果是以概率100%取值。改记为：三、厄米算符的本征值与本征函数9该方程称为算符的本征方程，称为算符的本征值，称为对应于本征值的本征态。1、本征函数（本征态）和本征值（2）量子力学的基本假设4:设体系处在任意状态下，则测量其力学量时所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符的本征值。若体系状态处在厄米算符的本征态下，测量结果以概率1取，即取确定值。三、厄米算符的本征值与本征函数102、几个定理（1）定理1：厄米算符的本征值必为实数。设为厄米算符，和为该算

4、符的本征态与本征值，即：【证明】：设为在本征态下的平均值，即：即：前已证明：厄米算符在任意状态下的平均值均为实数，因此定理得证。即为实数。三、厄米算符的本征值与本征函数112、几个定理（2）定理2：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。【证明】：设为厄米算符，有：有：左乘,全空间积分有：即：且：三、厄米算符的本征值与本征函数12因为是厄米算符，即，所以即：已证明：定理得证2、几个定理（3）三、厄米算符的本征值与本征函数132、几个定理（4）正交归一化的表示：四、不确定度（测不准）关系的严格证明14问题：对于和，有，和为厄米算符，则【证明】：设任意波函数以及任意实数做积分：四、不确定度（

5、测不准）关系的严格证明15其中：四、不确定度（测不准）关系的严格证明16所以可令代入上式四、不确定度（测不准）关系的严格证明17令：简记为：四、不确定度（测不准）关系的严格证明18问题：若，会出现什么情况？五、狄拉克符号19问题：使用普通函数或积分形式比较复杂，如何简化？量子态的描述引出：狄拉克符号五、狄拉克符号20PaulDirac(1902－1984)1933年诺贝尔物理奖威斯敏斯特教堂中的Dirac纪念碑。211、定义：右矢，代表量子态：左矢，代表量子态的共轭态即是的共轭态矢。若是力学量完全集的共同本征态，则2、内积是归一化态矢和是正交的本征态的正交归一：五、狄拉克符号223、态矢在表象

6、中的表示和投影算符表象中的基矢为：，任意态其中：或者写为称为投影算符。五、狄拉克符号4、力学量平均值设为代表量子态的态矢，算符L对应的力学量在态下的平均值为六、例题23在第二章：一维势场中粒子能量本征态的一般性质中讲到：例题：粒子在一维无奇点势场中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数相互正交。定理7：设粒子在无奇点势场中运动，若存在束缚态，则必定是不简并的。定理1之推论1：对应于能量的某个本征值，能量本征方程的解不简并，则这个解可取为实函数。六、例题24例题：粒子在一维无奇点势场中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数相互正交。六、例题2526六、例题27六、例题28下一讲光的量子理论