2013年高考文科数学山东卷试题与答案word解析版.doc

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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.20．解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得：解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知，n∈N*，当n＝1时，；当n≥2时，.所以，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以b

2、n＝，n∈N*.又Tn＝，，两式相减得，所以Tn＝.21．(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a，b∈R)．(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较lna与－2b的大小．21．解：(1)由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，2013山东文科数学第4页得f′(x)＝.①当a＝0时，f′(x)＝.若b≤0，当x＞0时，f′(x)＜0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．若b＞0，当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)

3、单调递减．当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.②当a＞0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.由Δ＝b2＋8a＞0得x1＝，x2＝.显然，x1＜0，x2＞0.当0＜x＜x2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞x2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a＝0，b＞0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a＞0时，函数f(x)的单

4、调递减区间是，单调递增区间是.(2)由题意，函数f(x)在x＝1处取得最小值，由(1)知是f(x)的唯一极小值点，故＝1，整理得2a＋b＝1，即b＝1－2a.令g(x)＝2－4x＋lnx，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝.当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．因此g(x)≤＝1＋＝1－ln4＜0，2013山东文科数学第4页故g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，即lna＜－2b.22．(2013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原

5、点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝，求实数t的值．22解：(1)设椭圆C的方程为(a＞b＞0)，由题意知解得a＝，b＝1.因此椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，由题意＜m＜0或0＜m＜.将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1，得

6、y

7、＝.所以S△AOB＝

8、m

9、.解得m2＝或m2＝.①又＝＝＝(2m,0)＝(mt,0)，因为P为椭圆C上一点，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝

10、.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h.将其代入椭圆的方程＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，2013山东文科数学第4页设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由判别式Δ＞0可得1＋2k2＞h2，此时x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，所以

11、AB

12、＝＝.因为点O到直线AB的距离d＝，所以S△AOB＝

13、AB

14、d＝＝.又S△AOB＝，所以.③令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，解得n＝4h2或n＝，即1＋2k2＝4h2或

15、1＋2k2＝.④又＝＝＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，因为P为椭圆C上一点，所以，即.⑤将④代入⑤得t2＝4或t2＝，又知t＞0，故t＝2或t＝.经检验，适合题意．综上所得t＝2或t＝.2013山东文科数学第4页