2013年高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版.doc

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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)19．(2013重庆，文19)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．19．(1)证明：因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC．(2

2、)解：三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×＝.由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝·S△BCD·PA＝.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝.20．(2013重庆，文20)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建

3、造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因r＞0，又由h＞0可得，故函数V(r)的定义域为(0,

4、)．(2)因V(r)＝(300r－4r3)，2013重庆文科数学第3页故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(2013重庆，文21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心

5、率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，

6、AA′

7、＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．21．解：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则.从而e2＋＝1.由得，从而.故该椭圆的标准方程为.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则

8、QM

9、2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x02＋＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4

10、,4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且

11、QP

12、2＝8－x02.由对称性知P′(x1，－y1)，故

13、PP′

14、2＝

15、2y1

16、，所以S＝

17、2y1

18、

19、x1－x0

20、2013重庆文科数学第3页＝＝＝.当时，△PP′Q的面积S取到最大值.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.2013重庆文科数学第3页