三角函数最值.doc

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1、例1求函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值．分析：由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简．解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2当2x+=2kπ+，即x=kπ+(k∈Z)时，ymax=+2．点评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=sin（x+φ）．例2若θ∈［－,］，求函数y=cos(+θ）+sin2θ的最小值．分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题

2、可得到简化．解析：y=cos(+θ)－cos［2(θ+)］=cos(+θ)－［2cos2(θ+)－1］=－2cos2(θ+)+cos(+θ)+1=－2［cos2(θ+)－cos(θ+)］+1=－2［cos(θ+)－］2+．∵θ∈［－,］，∴θ＋∈［，］．∴≤cos(θ+)≤，∴y最小值=．点评：（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y=Asin(ωx+

3、φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．例3试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．分析由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题．解令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+)2+，且t∈［－，］，∴ymin=，ymax=3+．点评注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c

4、在某个区间上的最值问题．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y=Asin(ωx+φ)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则sinxcosx=．（05年全国卷Ⅰ文）当时，函数的最小值为（A）2（B）（C）4（D）解析：，当且仅当，即时，取“”，∵，∴存在使，这时，故选(C)．【例4】是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说

5、明理由。解：当时，，令则，综上知，存在符合题意。【例2】锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠，求tany的最大值.和取最大值时角x的集合.解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany====≤=，当且仅当tanx=时取等号.∴tany的最大值为.对应角x的集合为提炼方法：先由已知变换出tany与x的函数关系，再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例1】（2003春北京）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性

6、，并求其值域.解：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠+（k∈Z）.所以f（x）的定义域为{x

7、x∈R且x≠+，k∈Z}.因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（－x）===f（x），所以f（x）是偶函数.又当x≠+（k∈Z）时，f（x）===3cos2x－1=，所以f（x）的值域为{y

8、－1≤y＜或＜y≤2}.◆提炼方法：对复杂的函数式,要先化简为Asin(ωx+φ)+m,或Acos(ωx+φ)+m的形式,再讨论性质.【探索题】函数f（x）=1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g（a），a∈R，（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值

9、.解：（1）f（x）=1－2a－2acosx－2（1－cos2x）=2cos2x－2acosx－1－2a=2（cosx－）2－－2a－1.若＜－1，即a＜－2，则当cosx=－1时，f（x）有最小值g（a）=2（－1－）2－－2a－1=1；若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cosx=时，f（x）有最小值g（a）=－－2a－1；若＞1，即a＞2，则当cosx=1时，f（x）有最小值g（a）=2（1－）2－－2a－1=1－4a.∴g（a）=（2）若g（a）=，由所求g（a）的解析式知只能是－－2a－1=或1－4a=.由