三角函数及其最值

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1、三角函数及其最值一、知识回顾本节公式中，s=1/2(a+b+c),r为内切圆半径，R为外接圆半径，Δ为三角形面积.（一).三角形中的各种关系设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．1．角与角关系：A+B+C=π，2．边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb．3．边与角关系：1）正弦定理2）余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．它们的变形形式有：a=2RsinA，，．3）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA

2、，c＝a·cosB＋c·cosA．面积公式：三角形内角定理的变形由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．而．有：，．（二）映射和函数的概念，函数的单调性二．例题讲解1．已知函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线对称，则函数y＝asin2x-cos2x的图象关于下列各点中对称的是（　）A．（，0）　　　　B．（，0）　　C．（，0）　　　　D．（，0）分析sin2x＋acos2x这就是说将函数y＝sin2x＋acos2x的图像向右平移个单位就可以得到函数y＝asin2x-cos2x的图象，再由已知得

3、函数y＝asin2x-cos2x的图象关于直线对称，即关于直线对称，记f(x)=asin2x-cos2x,则有，得，即，所以方程的解就是函数y＝asin2x-cos2x的图象的对称点的横坐标，由，容易检验，只有选项B适合.评注正弦曲线的对称轴一定通过曲线的最高点或最低点，其对称点就是函数的零点。2.函数y=的图像是（　）分析该函数的定义域为,淘汰选项C和D;又由其图象知当x=0时，y=0，所以选A.评注检验法是解选择题，填空题常用的极为有效地方法.练习求周长为l的直角三角形内切圆半径的最大值．3．已知定义在实数R上的函数不恒为零，同时满足且当x>0时，，那么当时，一定

4、有（）.A、B、C、D、分析令x=y=0,得f(0)=f(0)f(0),又，所以f(0)=1;再令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x)=1,又对一切恒成立，设x<0,则–x>0,由已知得f(-x)>1,所以0<,选D评注对于抽象函数，通常采用赋值法，求出f(0),f(1)等4．设实数m、n、x、y满足，，其中a、b为正的常数，则的最大值是（　）A．　　　B．　　　C．　　　D．分析作换元,,则，选B评注也可以直接利用柯西不等式，该不等式用平面向量的数量积易证.设，由立即得证.练习已知实数x,y满足，试求的取值范围.解作换元x=rcosΦ,y=rsinΦ,r>0,则

5、得，又，所以的取值范围是[2，6]5．函数的图象如图所示，其定义域为[-4，4]，那么不等式的解集为。分析函数y=sinx在区间或上取正值，在区间或上取负值，在数轴上分别标出函数f(x),sinx在区间[-4，4]上的零点，容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉sinx的零点，于是的解集为.6．非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边，求的取值范围.解：由正弦定理得∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形∴,又,∴∴故的取值范围为7．如图，已知在等边△ABC中，AB＝3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设∠A

6、OM＝(60°≤≤120°)，当分别为何值时，取得最大值和最小值．解：由题意可知：∠OAM＝30°，则∠AMO＝180°－（θ＋30°）由正弦定理得：＝，又OA=∴同理：∴∵60°≤θ≤120°，∴≤2sinθ≤2故当θ＝60°或120°时，的最小值为；当θ＝90°时，的最大值为2．8．在锐角中，角A、B、C成等差数列，（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由。分析（Ⅰ）证明（Ⅱ）解因为A、B、C成等差数列，所以B=又==所以>当A>C时，A=，C=，=>1，所以>,综合得>9．设、为常数，：把平面上任意一点（，）

7、映射为函数（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当时，，这里t为常数；（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？证明(1)假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当时，可得常数a0，b0，使。由于为常数，设是常数.从而。（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的