2020_2021学年高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值学案含解析北师大版选修2_2.doc

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1、1．2　函数的极值授课提示：对应学生用书第27页[自主梳理]一、函数的极值的有关概念1．在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的________．在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．2．结论：如

2、果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则________是极大值点，________是极大值．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则________是极小值点，________是极小值．二、求函数y＝f(x)的极值点的步骤1．求出导数f′(x)．2．解方程f′(x)＝0.3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为_______

3、_；(2)若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为________；(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0________.[双基自测]1．关于函数的极值，下列说法正确的是(　　)A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数2．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)A．2　　　　　　　　B．1C．0D．由a确定3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋

4、(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．[自主梳理]一、1.极大值点　极大值　极小值点　极小值　极值　极值点　2.x0　f(x0)　x0　f(x0)　二、3.极大值点　极小值点　不是极值点[双基自测]1．D　导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．极小值不一定小于极大值．f(x)在定义域内可能有多个极值点．2．C　∵f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值点．3．{a

5、a＜－3或a＞6}　f′(x)＝3x2＋2

6、ax＋(a＋6)，若函数f(x)有极大值和极小值，则f′(x)有两个零点，令f′(x)＝0，则Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.授课提示：对应学生用书第28页探究一　求函数的极值[例1]　求下列函数的极值：(1)f(x)＝x4－4x3＋5；(2)f(x)＝.[解析]　(1)因为f(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)f′(x

7、)－0－0＋f(x)不是极值极小值故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值故当x＝e时函数取得极大值，且f(e)＝.求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则有极值；否则，没有极值．例如本例(1)中虽有f′(0)＝0，但由于其两侧的导数值的符号相同，所

8、以x＝0不是函数的极值点．另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值．1．求下列函数的极值：(1)y＝x2－7x＋6；(2)y＝x3－27x.解析：(1)y′＝2x－7，令y′＝0，得x＝.当x变化时，y′，y的变化情况见下表：x(－∞，)(，＋∞)y′－0＋y－∴当x＝时，y有极小值，且y极小值＝－.(2)y′＝3x2－27，令y′＝0，得x＝－3或x＝3.当x变化时，y′，y的变化情况见下表：x(－∞，－3)－3(－3,3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y54－54∴当x＝－3时，y有极大值，

9、且y极大值＝54；当x＝3时，y有极小值，且y极小值＝－54.探究二　已知函数极值求参数的值[例2]　已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的极小值．[解析