2021版高中数学必做黄金100题38平面向量的线性运算及平面向量的共线问题（解析版）.docx

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1、第38题平面向量的线性运算及平面向量的共线问题一．题源探究·黄金母题如图，已知四边形是等腰梯形，分别是的中点，是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，，求．【解析】，∴．又，∴，所以【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题．【母题评析】本题中实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中．【思路方法】（1）将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量

2、的基本定理来解决．（2）注意题目中中点与平行的应用．14/14二．考场精彩·真题回放【2020年高考江苏】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是▲．【答案】【解析】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，【命题意图】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与平面向量的线性运算等联系紧密．【学科素养】数学运算、直观想象【难点中心】.解决此类问题时经常出

3、现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.14/14，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.三．理论基础·解题原理考点一平面向量的加减法及几何意义1．加法法则及几何意义①三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，则叫做和的和．②平行四边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，以为邻边作平行四边形，则为向量和的和．③多个向量和的多边形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，…，，则为向

4、量的和．14/142．减法法则及几何意义三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，则．考点二向量的数乘运算及几何意义实数与向量的乘积是一个向量，且．当时，与的方向相同；当时，与的方向相反．特别地，向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．考点三向量共线定理如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数使．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．考向1三角形法则与平行四边形法则的应用设,,分别为三边,,的中点，则（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵

5、分别为的三边的中点，∴【温馨提醒】14/14．选D．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，解题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．考向2共线定理的应用在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（　　　）A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．4【答案】A【解析】因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A．【温馨提醒】共线定理描述的是两个向量间数乘关系，即与共线存在唯一，使，将其延伸

6、后可得到三点共线的条件：在平面中三点共线的充要条件是（为平面内任意一点），其中．考向3平面向量线性运算与不等式交汇【2018衡水金卷】已知的重心为，过任做一直线分别交边于两点，设，则的最小值是________．【答案】【温馨提醒】14/14【解析】因为三点共线，所以，所以．因为点是的重心，所以，所以，所以，即，所以≥，当且仅当时等号成立，即时取得最小值．本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成

7、所需条件，应用均值不等式.考向4平面向量线性运算与数列的交汇如题图，已知点为的边上一点，，为边上的列点，满足，其中实数列中，则的通项公式为（）A．　　　B．　　　　C．　　　D．【答案】D【解析】因为，所以．设【技能方法】平面向量的线性运算与数列的综合通常体现为表示向量的基底向量的系数为数列的通项（或前项和）或向量对应的点以数列形式出现，而所求解问题常常设置为数列问题，解答时通常从向量开始，利用向量线性运算的相关性质转化为数列问题，然后利用数列的相关知识求解．14/14，则由－，得，，所以，所以．因为，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，故选D