第38题平面向量的线性运算及平面向量的共线问题-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题

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1、I.题源探究•黄金母题第38题平面向量的线性运算及平面向量的共线问题【例6][2014福建8】设M为平行四边形ABCD【例1】如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，分对角线的交点，。为平行四边形ABCD所在平面别是AD,BC的中点，是线段EF上的两个点，且内任意一点，贝ijQ4+OB+OC+OD等于EM=MN=NF,下底是上底的2倍，若AB=a,BC—b,求AM.AVMB.2OMC30MDAOM【例71L2015高考广东卷】设方是己知的平面向量且方#0,关于向量方的分解，有如下四个命题:II.考场精彩•真题回放【例2][2017课标1理13】己知向量a,b的

2、夹角为60。,

3、a

4、二2,

5、川二1,贝ij

6、a+2b=.【例3]【2015全国新课标I卷】设D为MBC所在平面内一点BC=3CD9贝ij(①给定向量厶，总存在向量7,使0=乙+二②给定向塑乙和7,总存在实数2和“，使a=肋+//c；③给定单位向量厶和正数“，总存在单位向量C和实数2,使a=兄厶+“2；A.AD=--AB^--AC33④给定正数2和“,总存在单位向量乙和单位向B.C.AD=-AB+-AC33D.AD=-^B--AC33上述命题屮的向量乙，2和&在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例8][2015高考山东理

7、4】已知菱形ABCD的【例4】【2015高考新课标2理13】设向量方，乙不平行,向SAa+b与方+2乙平行，则实数2=.【例5][2015北京高考卷】在ZVIBC屮，点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=x~AB+y^C,则边长为a,ZABC=60°(A)(c)r2，则BD・CD=((B)--a1439(D)-a12x=；y=精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第120页复习参考题A组第13题.【难点中心】(1)如何利用三角形法则，面临的就是如何选择三角形，这是一个难点；(2)如何利用条件中的关键条件，如线段的中点、三点共线、平行关系，即如何利用这

8、些条件实施向量线性运算间的转换，从而达到将一个向量利用基底向量表示的目的.【母题评析】本题中方/实际上为基底，然后将其它的向量利用此基底表示出来，主要考查向量加减法的几何意义、平面向量基本定理，所以此类题型在高考中出现的频率还是比较高的，要么单独考查，要么渗透于其它向量问题中.【思路方法】(1)将一个向量表示为另两个不共线的向量的线性关系，主要是利用平行四边形法则或三角形法则，结合数乘向量、平面向量的基本定理来解决.(2)注意题目中中点与平行的应用.【命题意图】本类题主要考查平面向量的加法运算及三角形法则、数乘向量，以及图形的识别能力、运算求解能力.【考试

9、方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中偏下.III.理论基础•解题原理考点一平面向量的加减法及几何意义1.加法法则及几何意义①三角形法则：己知向量7民,在平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,则AC=a+b叫做方和b的和.②平行四边形法则：已知向量a9b,在平面上任取一点A,作AB=a,AD=b,以AB.AD为邻边作平行四边形ABCD,则AC=a+b为向量方和厶的和.③多个向量和的多边形法则：已知向量ay?,…，①，在平面上任取一点A,作44

10、=坷，Ml=a2*•••'4,-lA=an■•■■•I•・•・•I•I•,则AA

11、n=a}+E+・・・+陽为向量卸吆…卫”的和•2.减法法则及几何意义三角形法则：己知向量a.h.在平面上任取一点0OB=b,则BA=a-b.实数2与向量方的乘积2方是一个向量,考点二向量的数乘运算及几何意义且Aa=A\a.当2>0时，跖与方的方向相同；当/1<0时，兀与方的方向相反.特別地，向量方（^6）与忌共线，当且仅当有唯一一个实数2,使厶二加.考点三向量共线定理如果a=Xb,则aOb；反之，如果aDbf且畀0,则一定存在唯一一个实数2使ct=Xb.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，有时也会与

12、三角函数、解三角形等知识交汇.【技能方法】（1）将向塑表示为另外向量的线性关系，主要是利用平而向量加减法的儿何意义（三角形法则、平行四边形法则）结合平而向量的基本定理来解决；（2）根据线性关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量的基本定理结合待定系数法建立方程（组）来解决.【易错指导】(1)运算平面向量的三角法则时忽视加法运算的“首尾相接”的特点，减法运算时忽视所得差向量的方向是指向被减数的；(2)向量的数乘运算注意实数的符号，即必须注意数乘向量的方向；(3)利用平面向量的基木定理解决相关问题，基底的选择直接决定解题过程的繁杂与简化、决定解题

13、的成功与失败，因此必须重视基底的选择.V.举一反三•触类旁通III