【精品】四年级下册数学试题-奥数专题讲练:7 数表与幻方 精英篇(解析版)全国通用.doc

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1、第七讲数表与幻方教学目标幻方问题千变万化,幻方的填法虽然单一,但组合起来却也是千变万化.1.三阶、四阶幻方与奇数阶幻方的填法;2.三阶幻方的主要性质;3.利用幻方的主要性质补填幻方图;数表一类的问题与幻方问题往往有结合和相近的内容,但数表问题更考验学生对数字规律的发现和运用能力.将1到9这9个数字填入3×3的正方形表格内,使表格中横、竖、对角线上三个数的和相等,你能有多少种填法?想挑战吗?分析:专题精讲幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方,4×4的数阵称作四阶幻方,5×5的

2、称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数,也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中,首先要找出数填写的规律,再从规律中找到数表的数量关系,从而找出解决问题的关键.(一)幻方[小故事](教师导入)同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说?传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是

3、谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:【例1】请你将2~10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.分析:第一步:求幻和:2+3+4+…+9+10=54第二步:求中心数:我们把幻方中

4、对角线交点的数叫“中心数”,仔细观察可以发现:除了对角线外,第二行、第二列也分别经过中心数,那么,经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍,即18×4=72,显然,在这个总和中,中心数用了四次,其余各数正好各用一次,所以中心数应是:(72-54)÷3=6第三步:确定四个角上的数:用尝试法,不难推知,四个角只能是奇数.第四步:用尝试法填一个基本解,以基本解为基础,可绕中心旋转与对调得到其它各解,共八解,如图:[巩固]3×3的正方形中,在每个格子里分别填入1~9的9个数字,要求每行每列对角线上的三个数的和相等,请给出至少一种填

5、法分析:除了运用例题中的方法,还有两种方法:(方法一)罗伯法:把1(或最小的数)放在第一行正中,按以下规律排列剩下的数:(1)每一个数放在前一个数的右上一格(1)如果这个数所要放的格已经超出了最顶行,那么就把它放在最底行,仍然要放在右一列(2)如果这个数所要放的格已经超出了最右列,那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行(3)如果这个数所要放的格已经填好了其它的数,或者同时超出了最顶行和最右列,那么就把它放在前一个数的下面,具体如下图:(方法二)对易法:先把1到9九个数字按顺序斜着排列,再把上下的数字1和9对调,左右的数字7和3

6、对调,最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上,一个三阶幻方就形成了.[说明]南宋数学家杨辉曾概括幻方为:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出.”这就是我们现在所学的对易法.[小知识]我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久,三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”【例1】请你将1~25这二十五个自然数填入图中的

7、空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.[亮点设计](1)提问:三阶幻方的我们可以通过算的方法填出,五阶的呢?算算看,累死.七阶呢?更累死.同学们想不想在一分钟之内写出五阶幻方呢?看老师的:(2)示范:边写边说口诀:“一居上行正中央,后数依次右上连.上出框时往下填,右出框时往左填.排重便在下格填,右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”,它对于构造连续自然数幻方是最简单易行的.(3)练习:写个七阶的看看(大家一起来练)注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握,老师隆重推荐大家一种方法——“

8、卷纸筒”,即把上下边重合在一线,则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.(4)亮化:大家现在感到是不是很好玩?美国的有个小孩子写出了105阶的幻方,被记在一本数学课本上.我们现在知道,这里的方法其实不算难吧?其实我们也不妨跟美国小朋友P

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