高中数学必修五不等式讲义.docx

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1、不等式讲义目录一、不等式的基本性质-1-二、重要不等式-2-三、例题展示-4-3.1比较法-4-3.2分析法-5-1.凑项-5-2.凑系数-7-3.凑完全平方式-8-4.分离-9-3.3代换-10-1.消元-10-2.整体代换（“1”的代换）-11-3.判别式法（万能K法）-14-4.局部代换（换元）-17-5.三角代换-20-6.均值代换、比值代换-22-3.4构造-26-1.形式构造-26-2.对偶式构造-27-3.函数构造-28-4.数形结合-28-3.5待定系数法-30-1.均值不等式添加参数-31-2.柯西不

2、等式添加参数-32-3.6切割线放缩-44-3.7导数-50-四、综合练习-51-五、练习题-93-一、不等式的基本性质（1）对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；（3）可加性：a>b，c∈R⇔a+c>b+c；（4）加法法则：a>b，c>d⇒a+c>b+d；（5）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；（7）乘方法则：a>b>0⇒an>bn（n∈N*，且n>1）；（8）开方法则：a>b>0⇒na>nb（n∈N*，且n>1

3、）；（9）倒数法则：；（10）有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则①真分数的性质：；；②假分数的性质：；；（11）**不等式的对称性（了解）设f(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)是一个元函数.若将x1,x2,⋅⋅⋅,xn中任意的两个变元互相交换位置，得到的f与原式是恒等的，则称fx1,x2,⋅⋅⋅,xn是完全对称的.如xy+yz+zx，等.设f(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)是一个n元函数.若作置换x1→x2,x2→x3,⋅⋅⋅,xn-1→xn,xn→x1，得到的f与原式是恒等的，则称f(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)是轮换对称

4、的.如x3y+y3z+z3x，等.显然，完全对称的一定是轮换对称的.二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式（1）（2）2.1.含有绝对值的不等式（1）；（2）；（3）对形如

5、x-a

6、+

7、x-b

8、≤(≥)c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．（4）含有绝对值的不等式的性质

9、a

10、-

11、b

12、≤

13、a±b

14、≤

15、a

16、+

17、b

18、.取等条件：不等式

19、a

20、-

21、b

22、≤

23、a+b

24、≤

25、a

26、+

27、b

28、，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且

29、a

30、≥

31、b

32、；不等式

33、a

34、-

35、b

36、≤

37、a-b

38、≤

39、a

40、+

41、b

42、，

43、右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0，且

44、a

45、≥

46、b

47、.2.2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解（设Δ=b2-4ac）D>0D=0D<0a>0x>-b+Δ2a, x<-b-Δ2ax≠-b2a-∞0，则，当且仅当a=b时，等号成立．（3）若a,b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立

48、．其中，称为调和平均数，称为几何平均数，称为算术平均数，称为平方平均数2.4.柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：，，证：得证.当时取等号.（2）柯西不等式向量形式：

49、α⋅β

50、≤

51、α

52、⋅

53、β

54、如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α=(a,b),β=(c,d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积的定义，有α⋅β=

55、α

56、⋅

57、β

58、cosθ，因为

59、cosθ

60、≤1，所以

61、α⋅β

62、≤

63、α

64、⋅

65、β

66、.当且仅当β是零向量，或者α//β时取等.（3）二维形式的三角不等式：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+

67、(y1-y2)2当且仅当P1,P2与原点O在同一直线上，并且点P1,P2在原点O两旁时，式中的等号成立.三、例题展示3.1比较法【例1】设a、b是非负实数，求证：【证明】当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以【例2】已知，证明：.【证明】，，当时，，，于是；当时，.所以.【例3】设，则(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，，.故答案为：C3.2分析法1.凑项【例4】设a>1，则的最小值是▲．【答案】5【解析】当且仅当，即时取等号.【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件

68、则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.【练习】设x,y为正实数，且，则xy的最小值为▲．【答案】27【解析】因为，所以，，因此当且仅当y-1=2,y=3时取等号，即xy的最小值为27.未知定值（没有形如“a+b=1