数值分析（解答）.doc

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1、华中科技大学研究生课程考试试卷√□开卷□闭卷□公共课□专业课√数值分析课程名称：___________________________课程类别考核形式2007.5.28学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________学号__________________姓名__________________任课教师___________________一、填空题（每空2分，共20分）1、计算，给出了两种运算顺序，（A）从左到右相加，（B）从右到左相加，应选择运算顺序（B）可使计算结果接近于真值。2、由个插值条件是否可唯一确定一个次数不超过

2、的插值多项式？（不一定）3、在[-1，1]区间上，令，则点应取为（n次chebyshev多项式的零点），可使达到极小。4、设是区间[0，1]上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则，。5、Newton-cotes求积公式的精确程度是否一定能随着其代数精度的提高而提高？（不一定）6、用显式Euler法解初值问题，为保证绝对稳定性，步长应在范围（0，0.2）内选取。7、设A是一个正交矩阵，则=（1）。8、设，当时，必有分解式，其中为下三角矩阵，当其对角线元素满足条件时，这种分解是唯一的。二、（15分）求一个次数不高于4的多项式，使它满足，，，并写出其余项表达式。解：构造重节点的差商表差

3、商一二三四0011200111011010-1-1故其余项表达式为：，三、（10分）求，使达到最小。解：由于题中积分达到最小，实际上是在上求，使其成为的最佳平方逼近多项式，故满足正规方程组：其中，，，，故有：解得，四、（10分）求在[-1，1]上的二次最佳一致逼近多项式。（注：Chebyshev三次多项式为）解：设所要求的二次最佳一致逼近多项式为，依题意，必有：即有：由于是首一的三次项式，因此，据Chebyshev多项式的性质（Th3.6）可知从而五、（10分）作适当变换，把积分化为能应用点Gauss-Chebyshev求积公式的积分。当取何值时，能得到积分的准确值？并计算它。解：令，则能应

4、用Gauss-Chebyshev求积公式，由于点Gauss-Chebyshev求积公式的代数精度是，是二次多项式，因此应用两点以上的Gauss-Chebyshev求积公式便可得到积分的准确值，据两点Gauss-Chebyshev求积公式，六、（10分）证明：线性二步法当时方法为二阶的，当时方法为三阶的。解：设，则当时，，故方法为二阶的，当时，，故方法为三阶的。七、（15分）设线性方程组的系数矩阵为：问求解此方程组的Jacobi迭代，Gauss-seidel迭代是否收敛？为什么？SOR方法中的松驰因子的最优选择为多少？试比较Jacobi迭代，Gauss-seidel迭代以及SOR方法的收敛速度

5、。（对称正定三对角矩阵，最优松弛因子公式）解：不难验证A是否定对称的三对角矩阵，由得列，由定理6.26知，因，SOR方法最优松驰因子为，故Jacobi迭代，Gauss-seidel迭代均收敛。而，因可见采用最优松驰因子的SOR方法收敛速度比Jacobi迭代和G-S迭代收敛速度快得多，而G-S迭代又比Jacobi迭代收敛速度快。八、（10分）证明简化Newton公式，，收敛的一个充分条件是：；又设在内有单根，证明，其中。解：令，则

6、（在的领域内）是收敛的一个充分条件，即即得，或因而，只要对给定的，存在，使对任何，上式都能成立的话，简单Newton法就收敛，再由，，有，介于与之间。这样所以