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《数值分析习题六解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、习题六解答1、在区间［0,1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。/=-10(y-l)y(0)=2y’=sinx+ey(0)=0解：(1)取h=0.1,本初值问题的欧拉公式具体形式为);+1=i)2("=0,1，2,…)由初值yo=y(O>2出发计算，所得数值结果如下：xo=O,yo=2；X
2、=0.1，乃=>’0-(凡-1)2=2-1=1x2=0.2，)，2=乃-(%-1)2=1-0=1指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。(2)取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为H+/z(sin+
3、e'Xn)2(n=0,1，2,…)由初值yo=y(O)=O出发计算，所得数值结果如下：xo=O,yo=O；X
4、=0.1，%=yo+/7(sin义o+rA°)2=0+0.1x(sin0+e°)=0+0.1x(0+l)=0.1X2=0.2,y2=y+/?(sinx,+e~Xl)2=O.l+O.lx(sinO.l+e-ol)=O.l+O.lx(O.l+O.9)=O.2指出：本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测一校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。J/=x2-2y(0<%
5、<0.5)解：(1)取h=0.1,本初值问题的欧拉公式具体形式为HX"=0,1，2,…)由初值yo=y(O)=l出发计算，所得数值结果如下：xo=O,yo=l;xi=0.1,)=)’0+/z(g-2y0)=1+0.lx(02-2x1)=0.8x2=0.2,>=y,+h(xf-2>9=0.8+0.1x(0.12-2x0.8)=0.641Yn+1=>;+W„，x,)(2)由预测校正公式h_,Vn.l=X,+-[/U,pX,)+/(^+P^+1)]取h=0.1，本初值问题的预测一校正公式的具体形式为yn+i=x,
6、+0.lx(':-2>J=);+0.05[('2-2乂,)+(弋-2SC)]由初值yo=y(O)=l出发计算，所得数值结果如下：xo=O,y0=l;xi=0.1,Yj=yo+O.lx(%Q-2y0)=0.8,Yj=yo+O.O5x[(xo2-2y0)+(<-2y,)]=1+0.05x[(0—2)+(0.12-2x0.8]=0.8205X2=0.2,y2=y,+0.1x(x12-2y1)=0.8205+0.1x(0.12-2x0.8205)=0.6574y2二乂+0.05x[(x,2-2^,)+(%22-2y2)
7、]=0.8205+0.05x[(0.12-2x0.8205)+(0.22-2x0.0.6574]=0.67523、试导出解一阶常微分方程初值问题[y=/(^y)(xQ=a；+1=+¥U；+1，X：+1)(«=0,1，2,…)并估计其局部截断误差。解：在区间[X,,,xn+1]上对常微分方程，(*)=饩*,0两端同时积分，得由右矩形公式得p1/U，yM)dx-V(u„+1)Jxn所以有差分格式X,+1=X,+V(+1，)';,+1)("=0,1，2,…)这是所谓隐式欧
8、拉公式。对于隐式欧拉法n,+¥(^,+pX：+i)(^=0,1，2,…)假定yn=y(xn),上式右边的yn+l=y(xn+1)，贝ij=X：+Ww+pJrt+,)=yU„)+hf(x,t+”y(xrt+1))=y(xj+hyxnJ将yz(xn+l)按泰勒公式展开，上式为^+i=X^,)+M^+i)=X^)+VU,+^)=y(xn)+h[/(xn)+hyxn)+…]将y(xn+l)按泰勒公式展开，得y(^+i)=X^+/7)h2/?=+M^)+—/(^)+—疒()+…两式相减，得h2/?X^+i)-xI+
9、i=[)’(')+/(^,)+—/’(')+•••]-＞’(')-M/(')+hy\)+•••]=-^yxn)+O^)即X^+i)-＞；+i=-/(')+⑽3)所以，X^+i)-^+i=°(^2)指出：可以用多种方法导出，其中差商法、数值枳分方法是简单的方法。4、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式y=ax2+Zzy+c准确成立，并说明理由。分析：①本题所说的改进的欧拉法，是指梯形公式h=y/+-(/(^，x)+/(人，x+1))。②在褪问题
10、)/=/(X’y)(^仏…)中，y是解函数。③木题要证明的
11、是,如果解函数是y=+则用梯形公式求出的数值解y,,等于相应的解函数的函数值＞，()，而％rJ=or,X+c，即要证明又,=ar,,2+/?x,,+fo④为了证明结论成立，先建立求解格式。⑤注意，y=ax2+/?x+c,所以/(jc，y)=/=2ar+/)o解：因为y=or2所以y=2ax--b[]/=+/。记f(x)=ex+f,设人=z7z，f=0,l,2，"改进的欧拉公式为hX
