重积分变量代换习题课

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1、习题课重积分的计算及相关问题基本内容重积分{三重积分二重积分应用{{{几何：面积、体积、曲面面积物理：质量、重心、引力性质计算直角坐标法极坐标法代换法性质计算直角坐标法球面坐标法柱面坐标法{重积分计算的关键:1.选择坐标系2.确定积分次序和积分限基本内容：一、积分坐标系的选择及积分顺序的确定二、积分定义及性质的应用三、换元法的使用四、对称性的利用一、积分坐标系的选择及积分顺序例1(1)分析:由积分限先定出积分区域D，然后再交换积分顺序.解解1例1(2)被积函数:直角坐标+换序解2yOxy=x1例1(3)证被积函数:直角坐标+换序例2(1)解(积分区域:直角坐标)分

2、析:先去掉绝对值符号例2(2)解1(被积函数:直角坐标+截面)解2(积分区域:球面坐标+换序)注记:本题两种不同坐标系解法的难度有一定的差别,请注意和收集同类型题目.例3证1分析：从改变积分次序入手．被积函数:直角坐标+换序t=v(x,x)vtOxt=u(v,v)utOv证2(截面法)u=vu=tvuOx(x,x)例4分析:体积可用定积分、二重积分和三重积分计算，选择时要根据区域而定.解(积分区域:球面坐标+换序)例5解被积函数:柱面坐标例6分析:要证明的等式的左端是重积分，右端是定积分，观察两端积分被积函数的特点，可以发现需将x2+y2看成一整体.证明:(被积函

3、数:极坐标+换序)将式中r的换成x,即得证.由对称性知交换积分次序解例7二、积分定义及性质的应用例8证同理注:本题采用的方法具有代表性,希望同学们能灵活应用.证例9例10证例11注:三重积分也有类似利用中值定理求极限的题目,希望同学们掌握.使用换元法需注意的两个方面:方法:三、代换法的使用广义极坐标:广义球面坐标:例12分析:区域的边界较复杂,考虑换元.解例13解1换元+对称例13解2例14解1解2利用定积分的换元例14四、对称性的利用(一)、二重积分的对称性使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标轴的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于二个积分变量的奇偶性.使

4、用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴(三个变量)的奇偶性.(二)、三重积分的对称性A例15(1)A例15(2)解I1>0;I2=I3=0;I4<0.D1D2D4D3D例16解1解2解1(被积函数:截面法)例17解2(积分区域:换元法+对称)例17练习9.作业P272:3,7,8,11-15,16(1).参考答案:(简解在后)9.简证则本题得证.